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二次函数与圆 答案版 （2014?湘潭，第26题）已知二次函数y=﹣x2+bx+c的对称轴为x=2，且经过原点，直线AC解析式为y=kx+4， （1）求二次函数解析式； （2）若=，求k； （3）若以BC为直径的圆经过原点，求k． （第2题图） 考点： 二次函数综合题． 分析： （1）由对称轴为x=﹣，且函数过（0，0），则可推出b，c，进而得函数解析式． （2）=，且两三角形为同高不同底的三角形，易得=，考虑计算方便可作B，C对x轴的垂线，进而有B，C横坐标的比为=．由B，C为直线与二次函数的交点，则联立可求得B，C坐标．由上述倍数关系，则k易得． （3）以BC为直径的圆经过原点，即∠BOC=90°，一般考虑表示边长，再用勾股定理构造方程求解k．可是这个思路计算量异常复杂，基本不考虑，再考虑（2）的思路，发现B，C横纵坐标恰好可表示出EB，EO，OF，OC．而由∠BOC=90°，易证△EBO∽△FOC，即EB?FC=EO?FO．有此构造方程发现k值大多可约去，进而可得k值． 解答： 解：（1）∵二次函数y=﹣x2+bx+c的对称轴为x=2，且经过原点， ∴﹣=2，0=0+0+c， ∴b=4，c=0， ∴y=﹣x2+4x． （2）如图1，连接OB，OC，过点A作AE⊥y轴于E，过点B作BF⊥y轴于F， ∵=， ∴=， ∴=， ∵EB∥FC， ∴==． ∵y=kx+4交y=﹣x2+4x于B，C， ∴kx+4=﹣x2+4x，即x2+（k﹣4）x+4=0， ∴△=（k﹣4）2﹣4?4=k2﹣8k， ∴x=，或x=， ∵xB＜xC， ∴EB=xB=，FC=xC=， ∴4?=， 解得 k=9（交点不在y轴右边，不符题意，舍去）或k=﹣1． ∴k=﹣1． （3）∵∠BOC=90°， ∴∠EOB+∠FOC=90°， ∵∠EOB+∠EBO=90°， ∴∠EBO=∠FOC， ∵∠BEO=∠OFC=90°， ∴△EBO∽△FOC， ∴， ∴EB?FC=EO?FO． ∵xB=，xC=，且B、C过y=kx+4， ∴yB=k?+4，yC=k?+4， ∴EO=yB=k?+4，OF=﹣yC=﹣k?﹣4， ∴?=（k?+4）?（﹣k?﹣4）， 整理得 16k=﹣20， ∴k=﹣． 点评： 本题考查了函数图象交点的性质、相似三角形性质、一元二次方程及圆的基本知识．题目特殊，貌似思路不难，但若思路不对，计算异常复杂，题目所折射出来的思想，考生应好好理解掌握． (2014年广西南宁，第26题10分）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧． （1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标； （2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由． 考点： 二次函数综合题． 分析： （1）当k=1时，联立抛物线与直线的解析式，解方程求得点A、B的坐标； （2）如答图2，作辅助线，求出△ABP面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出最大值及点P的坐标； （3）“存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°”的含义是，以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，由圆周角定理可知，此时∠OQC=90°且点Q为唯一．以此为基础，构造相似三角形，利用比例式列出方程，求得k的值． 解答： 解：（1）当k=1时，抛物线解析式为y=x2﹣1，直线解析式为y=x+1． 联立两个解析式，得：x2﹣1=x+1， 解得：x=﹣1或x=2， 当x=﹣1时，y=x+1=0；当x=2时，y=x+1=3， ∴A（﹣1，0），B（2，3）． （2）设P（x，x2﹣1）． 如答图2所示，过点P作PF∥y轴，交直线AB于点F，则F（x，x+1）． ∴PF=yF﹣yP=（x+1）﹣（x2﹣1）=﹣x2+x+2． S△ABP=S△PFA+S△PFB=PF（xF﹣xA）+PF（xB﹣xF）=PF（xB﹣xA）=PF ∴S△ABP=（﹣x2+x+2）=﹣（x﹣）2+ 当x=时，yP=x2﹣1=﹣． ∴△ABP面积最大值为，此时点P坐标为（，﹣）． （3）设直线AB：y=kx+1与x轴、y轴分别交于点E、F， 则E（﹣，0），F（0，1），OE=，OF=1． 在Rt△EOF中，由勾股定理得：EF==． 令y=x2+（k﹣1）x﹣k=0，即（x+k）（x﹣1）=0，解得：x=﹣k或x=1． ∴C（﹣k，0），OC=k． 假设存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，如答图3所示， 则以