清华大学课件_惯性导航的概念.pptVIP

四元数表示转动 方向余弦 其中方向余弦矩阵 四元数表示转动 旋转合成 多次旋转的合成 对于一个坐标系经过多次旋转后，新坐标系和原始坐标系之间的关系等效于一个一次转动的效果， 相应地有合成转动四元数 假定 q1、q2 分别是第一次转动、第二次转动的四元数 q 是合成转动的四元数， 那么有如下关系成立： 上式中 q1 和 q2 的转轴方向必须以映象的形式给出。 如果 q1 和 q2 的转轴方向都以原始坐标系的分量表示，则有 求方向余弦 非映象方式1 用四元数旋转变换的方法求取两个坐标系之间的方向余弦表。 坐标系 OX’Y’Z’ 相对OXYZ 三次旋转，以欧拉角ψ 、θ、φ的形式给出。 第一转，绕 Z 轴转ψ角，瞬时转轴 n 和 k 轴重合，则转动四元数为 第二转，绕 OX1 轴转θ角，瞬时转轴 n 的方向表示式为 其转动四元数为 求方向余弦 非映象方式2 求方向余弦 非映象方式合成 由于 q1 和 q2 的瞬时转轴都是以同一个坐标系的方向余弦来表示，则合成转动四元数 q 的计算采用： 求方向余弦 映象方式1 以瞬时转轴映象形式给出转动四元数的表达式并求出合成转动四元数 第一次转时，映象形式的 q1 和非映象形式的 q1 是一致的： 求方向余弦 映象方式2 第二转绕 OX1 轴转 θ角 瞬时转轴 n 是由 OX 经过第一转转换来的 OX 轴对应单位矢量 i，所以定义 n 的映象为 i 则 q2 的映象表示式为 求方向余弦 映象方式3 第三转，绕 OZ’ 轴转动 φ角 瞬时转轴 n 是由 OZ 经过第一转和第二转转换来的 OZ’ 轴对应单位矢量 k，所以定义 n 的映象为 k 则 q3 的映象表示式为 求方向余弦 映象合成 由于 q1 、q2 和 q3 都是映象形式 ，所以三次转动的合成转动四元数 q 为 据此可算出对应的方向余弦表 四元数补充 两种转动公式 坐标系旋转时，不变矢量 V 在两个坐标系上的投影之间存在如下关系： 在一些资料中，四元数的转动公式也经常写成如下的形式 这个公式的意义是说，在一个超复数空间中，或者在一个固定坐标系中，矢量 VE 按着四元数 q 所表示的方向和大小转动了一个角度，得到一个新的矢量 VE’ 四元数补充 计算上的优点 四元数法能得到迅速发展，是由于飞行器控制与导航的发展，要求更合理地描述刚体空间运动，以及便于计算机的应用。 采用方向余弦矩阵描述飞行器运动时，要积分矩阵微分方程式： 式中C为动坐标系转置到定坐标系的方向余弦矩阵，Ω为动坐标系相对定坐标系旋转角速度ω的反对称矩阵： 包含 9 个一阶微分方程式，计算量比较大 四元数补充 计算上的优点 如果采用四元数法，则是要求解四元数方程式 q 为动坐标系的转动四元数，ω 为动坐标系相对定坐标系的旋转角速度，也表示为四元数 按四元数乘积展开 只要解四个一阶微分方程式组即可 本章小结及重点 1-1 惯性导航的概念 牛顿定律 加速度、速度和航程的关系 在平面上的导航 1-2 地球形状和重力场特性 地球形状 重力场特性 垂线及纬度定义 地球的运动 1-3 坐标系 惯性坐标系、地理坐标系、地球坐标系、大圆弧坐标系 1-4 用矩阵法推导方向余弦表 方向余弦的物理意义 用矩阵法推导方向余弦 小角度近似 本章小结及重点 1-5 用四元数表示坐标变换 四元数 四元数的基本性质 四元数表示转动的公式 方向余弦表的建立 小结 相关英文 In mathematics, the quaternions were first described by Sir William Rowan Hamilton of Ireland in 1843 and applied to mechanics in three-dimensional space. At first, the quaternions were regarded as pathological, because they disobeyed the commutative law ab = ba. Although they have been superseded in most applications by vectors, they still find uses in both theoretical and applied mathematics, in particular for calculations involving three-dimensional rotations. the quaternions are obtained by adding the elements i, j and k to the real numbers whic