抽象函数定义域的求法.docxVIP

-- -- 抽象函数的定义域 总结解题模板 1.已知 f ( x) 的定义域，求复合函数 f [ g x ] 的定义域 由复合函数的定义我们可知， 要构成复合函数， 则内层函数的值域必须包含于外层函数 的定义域之中，因此可得其方法为：若 f (x) 的定义域为 x a, b ，求出 f [ g( x)] 中 a g( x) b 的解 x 的范围，即为 f [ g(x)] 的定义域。 2.已知复合函数 f [ g x ] 的定义域，求 f ( x) 的定义域 方法是：若 f [ g x ] 的定义域为 x a,b ，则由 a x b 确定 g( x) 的范围即为 f (x) 的定义域。 3.已知复合函数 f [ g( x)] 的定义域，求 f [ h(x)] 的定义域 结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由 f [ g x ] 定义 域求得 f x 的定义域，再由 f x 的定义域求得 f [ h x ] 的定义域。 已知 f ( x) 的定义域，求四则运算型函数的定义域 若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的， 其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。 例 1 已知函数 f ( x) 的定义域为 15， ，求 f (3 x 5) 的定义域． 分析：若 f ( x) 的定义域为 a ≤ x ≤ b ，则在 f g ( x) 中， a ≤ g (x) ≤ b ，从中解得 x 的取值范围即为 f g( x) 的定义域．本题该函数是由 u 3x 5 和 f (u) 构成的复合函数， 其中 x 是自变量， u 是中间变量，由于 f ( x) 与 f (u) 是同一个函数，因此这里是已知 1≤ u ≤ 5 ，即 1≤ 3x 5 ≤ 5，求 x 的取值范围． 解： f (x) 的定义域为 15， ， 1≤ 3x 5≤5， 4 ≤ x ≤ 10 ． 3 3 故函数 f (3x 5) 的定义域为 4 10 3 ， ． 3 变式训练： 若函数 y f ( x)的定义域为 1 ，则 (log ) 的定义域为 。 ,2 f 2 x 2 分析： 由函数 y f (x) 的定义域为 1 ,2 可知： 1 x 2 ；所以 y f (log 2 x) 中有 2 2 1 2 。 log 2 x 2 解： 依题意知： 1 log 2 x 2 解之，得： 2 x 4 2 ∴ f (log 2 x) 的定义域为 x | 2 x 4 例 2 已知函数 f ( x2 2x 2) 的定义域为 0，3 ，求函数 f ( x) 的定义域． 分析： 若 f g ( x) 的定义域为 m ≤ x ≤ n ，则由 m ≤ x ≤ n 确定的 g ( x) 的范围即为 f ( x) 的定义域．这种情况下， f ( x) 的定义域即为复合函数 f g ( x) 的内函数的值域。 本题中令 u x2 2x 2 ，则 f ( x2 2x 2) f (u) ， 由于 f (u) 与 f ( x) 是同一函数，因此 u 的取值范围即为 f ( x) 的定义域． 解：由 0 ≤ x ≤ 3 ，得 1≤ x2 2x 2 ≤ 5 ． 令 u x2 2x 2 ，则 f ( x2 2x 2) f (u) ， 1≤ u ≤ 5 ． f (x) 的定义域为 15， ．变式训练： 已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为 ________。 解：由 ，得 所以 ，故填 例 3. 函数 定义域是 ，则 的定义域是（ ） A. B. C. D. 分析：已知 的定义域，求 的定义域，可先由 定义域求得 的定义域，再由 的定义域求得 的定义域 解：先求 的定义域 的定义域是 ， 即 的定义域是 ，再求 的定义域 的定义域是 ，故应选 A 变式训练： 已知函数 f(2 x）的定义域是［ -1 ， 1］，求 f(log 2x) 的定义域 . 分析：先求 2x 的值域为 M则 log 2x 的值域也是 M，再根据 log 2x 的值域求定义域。 1 解 ∵y=f(2 x) 的定义域是［ -1 ， 1］，即 -1 ≤ x≤ 1, ∴ 2 ≤ 2x≤ 2. 1 ∴函数 y=f(log 2x) 中 2 ≤ log 2x≤ 2. 即 log 2 2 ≤ log 2x≤ log 24, ∴ 2 ≤ x≤4. 故函数 f(log 2x) 的定义域为［ 2 ，4］ 例 4 若 f ( x) 的定义域为 3，5 ，求 ( x) f ( x) f (2 x 5) 的定义域． 分析：求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域， 其解法是：