微分方程稳 定性.pptVIP

微分方程稳定性理论简介 例4. 例5. 有高 1m 的半球形容器, 水从它的底部小孔流出, 二、内容小结 3. 解微分方程应用题的方法和步骤 思考与练习 作业 P304.1,2, 3,4,5. * * 机动 目录 上页 下页 返回 结束 问题的背景 一阶方程的平衡点及稳定性 二阶方程的平衡点和稳定性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 稳定性的物理意义：用微分方程描述的物质运动的特解密切依赖于初值，而初值的计算或测定实际上不可避免地出现误差和干扰。如果描述这运动的微分方程的特解是不稳定的，则初值的微小误差或干扰将导致“差之毫厘，谬以千里”的严重后果。因此，这样不稳定的解不宜作为我们设计的依据，反之，稳定的特解才是我们最感兴趣的。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一阶方程的平衡点及稳定性 设有微分方程 (1) 方程右端不显含自变量 ，称为自治方程。代数方程 (2) 的实根 称为方程（1）的平衡点（或奇点）。它也是 方程（1）的解（奇解） 如果存在某个邻域，使方程（1）的解 从这个邻域的 某个 出发，满足 (3) 则称平衡点 是稳定的（渐进稳定);否则称 是不稳定的（不渐进稳定）。 判断平衡点是否稳定通常有两种方法。利用定义即（3）式称间接法。不求方程（1）的解，即不利用（3）式的方法称直接法。下面介绍直接法 只取一次项，方程（1）近似为 （4）称为(1)的近似线性方程， （事实上，若记 ，则（4）的一般解是 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二阶方程的平衡点及稳定性 二阶方程可用两个一阶方程表为 也为自治方程。代数方程组 如果存在某个邻域，使方程（6）的解 则称平衡点是稳定的（渐进稳定）；否则称是不稳定的（不渐进稳定）。 为了用直接法讨论方程（6）的平衡点的稳定性，先看线性常系数方程 系数矩阵记为 的根（特征根）决定。方程（12）可写为 则特征根为 方程（9）的通解为 按稳定性的定义（8）可知 微分方程稳定性理论将平衡点分为结点、焦点、鞍点，中心等类型，完全由特征根 或相应的p、q取值决定。列表如下 由表可看出，根据的正负判断平衡点稳定性的准则如下： 以上是对线性方程（9）的平衡点稳定性的结论，对于一般的非线性方程(6),可用近似线性方法判断其平衡点 只取一次项，方程（6）近似为 系数矩阵记为 特征方程系数为 显然， 决定。且已证明了如下结论： 若方程（17）的特征根不为零或实部不为零，则 点对于方程（17）的稳定性由上表或准则（15）（16） 点对于方程（6）的稳定性与对于近似方程（17）的稳定性相同，即由准则（15），（16）决定。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 最后，几点注意在事项： （1）平衡点和稳定性的概念只是对自治方程(1)(6)而言才有意义。 （2）非线性方程(1)(6)的平衡点的稳定性，与相应的近似线性方程(4)(17)的平衡点的稳定性一致，是在非临界情况下 二者可以不一致。 (3) 在讨论平衡点稳定性时，对初始点的要求是存在一个邻域，这是局部稳定的定义。如果要求对任意的初始点(3)(8)式成立，成为全局稳定。对于线性方程，局部稳定和全局稳定是等价的，对于非线性方程，二者不同。 得到的。在临界情况下 (4) 对于临界情况，和非线性方程的全局稳定，可以用相轨线分析方法讨论。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.1.1 卫星进入600km 高空轨道时，火箭必须的最低速度 首先将问题理想化，假设： （i）卫星轨道是以地球中心为圆心的某个平面上的圆周，卫星在此轨道上以地球引力作为向心力绕地球作平面匀速圆周运动；。 （ii）地球是固定于空间中的一个均匀球体，其质量集中于球心； （iii）其它星球对卫星的引力忽略不计。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 建模与求解： 设地球半径为 R ，质量为M ；卫星轨道半径为r ，卫星质量为m 。 根据假设（ii）和（iii），卫星只受到地球的引力，由牛顿万有引力定律可知其引力大小为 其中G 为引力常数。 为消去常数G ，把卫星放在地球表面，则由（1）式得 成正比, 求 解: 根据牛顿第二定律列方程 初始条件为 对方程分离变量, 然后积分 : 得 利用初始条件, 得 代入上式后化简, 得特解 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间的函数关系. t 足够大时 机动 目录 上页 下页 返回