常系数非齐次线性微分 方程.pptVIP

微分方程 第八节 例1.求方程　　　　　　　　　　的一个特解 例. 求解定解问题 例8. 三、小结 思考与练习 2. 求微分方程 3. 已知二阶常微分方程 * 常系数非齐次线性微分方程 一、 二、 第七章 二阶常系数非齐次线性方程 对应齐次方程 通解结构 常见类型 难点：如何求特解？ 方法：待定系数法. 设非齐方程特解为 代入原方程 一、 型 综上讨论 注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）. 特别地 解: 本题 而特征方程为 不是特征方程的根 . 设所求特解为 代入方程 : 比较系数, 得 于是所求特解为 解 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 代入方程, 得 原方程通解为 例２ 例３ 解: 本题 特征方程为 其根为 设非齐次方程特解为 代入方程得 故 故对应齐次方程通解为 原方程通解为 由初始条件得 于是所求解为 解得 利用欧拉公式 注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程. 解 对应齐次方程特征方程 代入方程得 解 对应齐次方程通解 代入上式 所求非齐方程特解为 原方程通解为 例5 例6 解 对应齐方通解 用常数变易法求非齐方程通解 原方程通解为 例7 解: (1) 特征方程 有二重根 所以设非齐次方程特解为 (2) 特征方程 有根 利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为 设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式: (待定系数法) 只含上式一项解法：作辅助方程,求特解, 取特解的实部或虚部, 得原非齐方程特解. 思考题 写出微分方程 的待定特解的形式. 思考题解答 设 的特解为 设 的特解为 则所求特解为 特征根 （重根） 时可设特解为 时可设特解为 提示: 1 . (填空) 设 的通解 (其中 为实数 ) . 解: 特征方程 特征根: 对应齐次方程通解: 时, 代入原方程得 故原方程通解为 时, 代入原方程得 故原方程通解为 有特解 求微分方程的通解 . 解: 将特解代入方程得恒等式 比较系数得 故原方程为 对应齐次方程通解: 原方程通解为 * * * *