高斯消元法(完整编辑).docVIP

.\ PAGE 高斯消元法解线性方程组 在工程技术和工程管理中有许多问题经常可以归结为线性方程组类型的数学模型，这些模型中方程和未知量个数常常有多个，而且方程个数与未知量个数也不一定相同。那么这样的线性方程组是否有解呢？如果有解，解是否唯一？若解不唯一，解的结构如何呢？这就是下面要讨论的问题。 一、线性方程组 设含有n个未知量、有m个方程式组成的方程组 （3.1） 其中系数，常数都是已知数，是未知量（也称为未知数）。当右端常数项, , …, 不全为0时，称方程组（3.1）为非齐次线性方程组；当== … == 0时，即 （3.2） 称为齐次线性方程组。 由n个数, , …, 组成的一个有序数组（, , …, ），如果将它们依次代入方程组（3.1）中的, , …, 后，（3.1）中的每个方程都变成恒等式，则称这个有序数组（, , …, ）为方程组（3.1）的一个解。显然由=0, =0, …, =0组成的有序数组（0, 0, …, 0）是齐次线性方程组（3.2）的一个解，称之为齐次线性方程组（3.2）的零解，而当齐次线性方程组的未知量取值不全为零时，称之为非零解。 （利用矩阵来讨论线性方程组的解的情况或求线性方程组的解是很方便的。因此，我们先给出线性方程组的矩阵表示形式。） 非齐次线性方程组（3.1）的矩阵表示形式为： AX = B 其中 A = ，X = ，B = 称A为方程组（3.1）的系数矩阵，X为未知矩阵，B为常数矩阵。将系数矩阵A和常数矩阵B放在一起构成的矩阵 = 称为方程组（3.1）的增广矩阵。 齐次线性方程组（3.2）的矩阵表示形式为：AX = O 二、高斯消元法 （下面介绍利用矩阵求解方程组的方法，那么矩阵初等行变换会不会改变方程组的解呢？我们先看一个定理。） 定理3.1 若用初等行变换将增广矩阵化为，则AX = B与CX = D是同解方程组。 证 由定理3.1可知，存在初等矩阵, , …, ，使 … = 记… = P，则P可逆，即存在。 设为方程组A X = B的解，即 A = B 在上式两边左乘P，得 P A = PB 即 C= D 说明也是方程组C X = D的解。反之，设为方程组C X = D的解，即 C= D 在上式两边左乘，得 C= D 即 A = B 说明也是方程组AX = B的解。 因此，方程组A X = B与C X = D的解相同，即它们是同解方程组。（证毕） (由定理3.1可知，求方程组（3.1