数学说题—2018年全国卷I第1 2题.pptVIP

2018年全国卷数学说题 全国卷Ⅰ（理）第12题 错点分析 2018年全国卷1（理）12题 12.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为 （ ） A. B. C. D. 【立意】以空间想象能力和推理论证能力为导向，根据教材主干知识创设新情境，注重对基础知识的深层次考查。 【考点】 直线与平面所成角；面面平行的性质定理。 【思想方法】数形结合，转化化归 ， 函数思想 思路分析 作图 问题一：面α在什么位置？ 问题二：截面是什么形状？ 条件1.每条棱所在直线与平面α所成的角相等 条件2.α截此正方体得到截面 思路分析 正方体中的12条棱可分为 三组 互相平行的棱 棱BA,BC,BB与平面α所成的角相等 根据线面角的定义： 面ACB与棱BA,BC,BB所成的角相等 平面α是 面ACB平行面 与每条棱所成角都相等的面α的位置？ 三条棱长度相等且交于同一点B 方案一：定义法 如图示，建立空间坐标系，设所求截面α的法向量 ∵正方体的十二条棱可分为三组，分 别与 相互平行 ∴当每条棱所在直线与面α所成角都相等时，应满足： 代值化简可得： ∴面α的法向量可取为 知识点：利用向量的数量积求夹角 方案二：向量法 由此可知面α是与体对角线垂直的平面 易知体对角线DB⊥面ACB 所以面α是面ACB的平行面 正方体有六个面 =》截面边数最多是六边形 面面平行的性质定理 问题2：截面是什么形状？ 所得截面是等边三角形或对边平行的六边形 最后回到本题的问题：求截面面积的最大值 面α∥面ACB 即 求六边形截面的最大值 法一：特值法+排除法 假设面α交于棱AD,DC,CC,CB,BA,AA的中点,所得截面为正六边形MNEFGH. 由对称性可知，此时截面恰好过正方体的体中心。 因为正方体棱长为1，可得截面边长|MN|= 所以截面面积为 S= = 中点 正六边形截面 得面积 比较大小排除 得到选项A的结果，与BCD中的数值比较大小，可以发现 是其中最大值，故排除BCD,选A 法二：分割 M N E F H 如图示，连接ME，EG,GM,将平行六边形分割为 三个全等的三角形和 一个等边三角形 G 已知正方体对角线为 ，假设边长|MN|= ，则|NE|= 在△MNE中，由余弦定理得 则截面面积 所以当x= 时，面积取到最大值 选A 法三：补形 M N E F H 如图示，延长HM，NE,GF交于点OPQ，将平行六边形补全为 等边△OPQ G 已知正方体对角线为 ，假设边长|MN|= ，则|NE|= 所以当x= 时，面积取到最大值 选A O P Q 则截面面积 解题三板斧 空间几何体的截面问题要掌握好 定位 定形 定量 首先，由关键点确定截面与空间几何体相交的位置 其次，根据题目中已知的条件与空间点、线、面的位置关系确定截面的形状和基本特征 最后，运用平面解析几何的有关性质、定理与公式完成截面相关的数量计算（如边长，周长，面积等） 1.不能根据隐含的平行关系将正方体的 十二条棱简化为三条两两垂直的棱 难点易错点 3.不能成功找出对边平行的六边形截面 错因分析： 1.空间想象能力较弱 2.对“直线和平面所成的角”的定义、“面面平行的性质定理”等基础知识不能熟练应用 3.无转化化归思想 4.不知道如何去求六边形面积，在转化的过程中计算出错 2.认为等边△ACB是最大截面，误选D 变式： 已知正方体的棱长为1，用一个平面α去截此正方体，则α截此正方体所得面积的最大值为 _____ 正确判断几何体被一个平面所截的截面形状，关键在于弄清这个平面与几何体的面相交成线的形状和位置。 正方体截面形状小结 面积最大 此题很好的考察了学生的转化思想和空间想象能力，强调了基础知识和基本思想的运用，具有很强的分辨性。要想更好的解决此类问题，平时教学中应强调： 1.立体几何的基本概念、公理、定理等基础（根本） 2.注重公理、定理的应用及辅助线的做法（难点） 3.解题步骤要规范，做到有理有据（易错） 教学反思 以下是全国卷近几年立体几何考点分布 未来趋势，此类题仍是重点、难点和热点，在考查基本知识的基础上，突出考查学生的空间想象能力及思维的深度与广度，应引以重视，夯实基础厚积薄发！