孤立子--奇异点分析.pptVIP

奇异点的位置随着积分常数的变动而变动，称这种奇异点为流动奇异点。 例如，对于非线性ODE： 其通解是 此时，z0既是积分常数，也是其奇异点的位置，由于奇异点的位置随着积分常数的变动而变动，故称这种奇异点为流动奇异点（movable singularity）。 奇异点 极点 支点 本性奇点 代数支点 对数支点 临界点 本世纪初painleve’及其合作者，研究了如下形式 的非线性ODE： 其中R,S,T是w的有理函数，且是在复平面上某区域关于z的解析函数。 在上述方程中，不具有流动临界点者只有50个，这种不具有流动临界点的性质称为Painleve’性质。 一般，我们称具有Painleve’性质的方程为P—型方程，在上述50个方程中，只有6个需要定义新的函数，其它的都可以化为已经解决过的方程： 在这里给出其中的三个： 给定一个ODE后，我们该如何判定它是否为P—型方程呢？ 如果ODE正好是二阶的，并且刚好满足上述方程形式，那么我们可以通过查painleve’等提供的50个方程的表，如果该ODE在 这个表上，或者经过适当的变换后在这个表上，那么它就是P—型的。 如果ODE是三阶的或是高阶的，那么就得借助奇异点分析的方法进行判断。 例1.考虑ODE族： (1) 如果m=0，(1)式的解就是椭圆函数；如果m=1，那么(1)式你就是PⅡ方程。下面讨论m不为0，1时的情形，表明此时它具有流动临界点。 下面用到奇异点分析的方法，主要分为下述三个步骤： 例1.考虑ODE族： (1) 第一步，设： 此时，(1)式主要项为左边的二阶导数项和右边的高次项，可得 若取a=1，那么当 由于方程为二阶方程，有两个积分常数，此时只得到一个z0，故还需对方程进行展开，直到得到另一个积分常数。 例1.考虑ODE族： (1) 第二步：求展式中 的幂次， 设： 则 (2) 将(2)代入(1)式中的主要项，将以β开头的项给出，得： 可求得两根，r=-1，此时z0是任意的；r=4，故可将展式展开成如下形式： (3) 当a3被确定时，第二个积分常数即可被确定。 例1.考虑ODE族： (1) 第三步：将(3)式代入(1)式，使得 的各次幂次相等，可得出结果： 故有以下两种可能性： 对于 的项，我们发现： (4) 例1.考虑ODE族： (1) 1).m=0或1时，对任意a3都满足，故a3就是第二个积分常数，而此时(3)式确实是在流动极点z0的领域内(1)式解的Laurent级数的开始的几项，由于没有其他的代数奇异点，故没有流动代数分支点。 例1.考虑ODE族： (1) 2）m 不为0和1时，对于任意的a3,(4)式无法成立，故对(3)式中必须添加对数项，故化为形式: 此时仍可得到 而在 的项，当a3为任意时，b3可被确定，此时上述展式，表明流动点z0为对数分支点。 例1.考虑ODE族： (1) 故可得出结论： 当m=0,1时，方程(1)为P-型方程； 当m不为0，1时，方程(1)具有流动临界点。