地板砖的优化铺设.docVIP

重庆理工大学 第十七届数学建模竞赛电子信息与自动化学院 参赛作品 ? ??? 参赛学生信息： 姓 名 学 号 联系电话 所在学院 ?所选题目：?????????A???????? ??? 竞赛题目： A \o （本科A）地板砖铺设问题 地板砖铺设问题 ??????? ???????? ??? B \o （本科B）金融市场价格波动分析 金融市场价格波动分析 ?? 地板砖的优化铺设 摘要：本文讨论了将一种固定形状的材料铺设到某种物体表面的最佳布置方案及最少费用问题，即最优化问题。通过构建线性规划的目标函数和约束条件、分类讨论，遍历法以及编写程序，并借助lingo软件，分别给出了三个问题的解决方案，建立了三个模型。求出了地板砖铺设总成本的模型、同规格地板砖铺设及不同规格地板砖混合铺设两种情况下的最优地板铺设方案和最少费用。我们以铺设费用为主要因素，并且充分考虑了地板砖利用率，给出各自权重，根据不同情况调整权重来计算对铺设方案的综合影响。 针对问题一需要得出所需地板砖与房屋面积的关系，综合考虑影响地板砖铺设成本的因素，建立计算地板砖铺设总成本的模型。我们采用线性规划的目标函数和约束条件的方法，切割地板增加了附加费用。首先题目根据所给各因素，列出目标函数，然后结合几何知识进行推理分析，得到约束条件，转化为非线性问题，最后建立目标函数模型。算出图表（见附录2）。 针对问题二只用一种地板铺设的情形，首先，对五种地板的估计数据，根据现实实际考虑因素设立权重，得到较合理的一个数据。然后，在第一问的基础上，将i（模块）不同而j（同规格地板砖）相同下的Qij相加后得到各种规格的铺设总费用。再计算出不同规格地板砖总费用。最后借助lingo软件，分别给出问题的解决方案，并计算出前后不同规格的地板砖利用率，进而得到不同规格的地板砖铺设方案和最少花费。最后由所得数据分析得：只用一种规格地板砖铺设时，用800mm*800mm所用费用最少，为最优选择，具体结果见正文。 针对问题三多种地板混合铺设情形复杂，我们采用遍历法。主要思想由已知可推断出，面积越大的地板，单位价格越小，故在选择地板时候，首先优先选择遍历面积大的地板，切割时候优先选择切割费用小的地板。自动铺设时优先选择面积大的，在面积大的满足不了的情况下，其次选择第二大的，即地板面积递减选择法。然后再比较这多种情况下各自的最优方案，优中选优。这样，使得解决问题的思路变得清晰。最后由模型运行结果分析得到最优铺设方案，具体方案见附表图2。 关键词： 非线性规划 权重 分类讨论 遍历法 优化 一、问题重述 计划在需要铺设的房屋地面铺设地板，同时在地板砖的铺设问题中，需要考虑地板砖的成本、铺设人工费用以及地板砖破损成本等方面，目标是为了使成本最小化，同时需要考虑整块地板砖的使用比例，即切割地板砖数尽量少，达到美观效果。由于这种模式具有一定的普遍性，因此需要建立地板铺设费用最省的一般数学模型与方法。 1. 综合考虑影响地板砖铺设成本的因素，建立计算地板砖铺设总成本的模型。  2. 若仅使用一种尺寸的地板砖进行铺设，请设计一种算法进行地板砖的自动铺设，并计算铺设地板砖的块数、利用率和总费用，比较分析哪种尺寸的地板砖铺设成本最低。  3. 若允许使用多种尺寸的地板砖进行混合铺设，又如何实现地板砖的自动铺设，并计算铺设各种尺寸地板砖的块数、利用率和总费用。 二、模型假设 1、将墙面宽度设为空间约束条件，宽度可以忽略，墙面都看做 线 2、假设所有地板之间无间隙铺设，忽略间隙宽度 3、假设所有规格的地板砖高度均相等，且花色都相同 4、假设所用地板砖均为通用地板，即不考虑厨房浴室阳台的使 用防滑地板等其他问题 5、假设厂家所生产的地板砖规格尺寸存在极小误差 6、题目中所给数据正确无误 三、变量说明 如图所示，将房间划分为15个区域的矩形模块，为每个模块设 置一个代号，设每个房间的长和宽均为变量 Li设为第i个模块的长(i=1,2,3,...,15) Ii为第i个模块的宽(i=1,2,3,...,15) U设为设为第i个模块固定的长度 V为第i个模块固定的宽度 用D表示地板砖，设现有规格为800mm*800mm 、600mm*600mm、 600mm*300mm、400mm*400mm 、300mm*300mm 的五种不同地板砖 边长依次为Dj*Ej(j=1,2,3,4,5)。 a%表示地板砖的破损率 A1为地板砖的单价 B为地板砖的切割成本 Qij为第i个模块铺设第j种地板砖的费用 Q为目标函数即铺设地板的总费用 P为整块地板砖的使用比例 A：各个指标权重的对比较矩阵 ：对于