第三章线性方程组向量组相关性习题课.pptVIP

证明：只需证明向量部分组线性无关即可， 两向量组等价，具有相同的秩 因为向量组个数=秩，则该向量组线性无关 即证 证明：向量组(I)的极大无关组可由向量组(II)线性表出，而且 (II)的极大无关组与(II)等价，即，向量组(I)的极大无关组可由 (II)的极大无关组线性表出，(I)的极大无关组线性无关，由 定理2的推论1，知，R(I)=R(II) 证明： 两向量组等价，具有相同的秩n 因为向量组个数=秩，则该向量组线性无关 即证 证明2： R(a1,a2,…an)=r=n，R(II)=n, 向量组II,可由向量组(I)线性表出， 所以R(II)=n=R(I)=r 所以r=n 因此(I)线性无关 即证 证明：必要性：已知：向量组I线性无关，结论:任一n维向量可 被向量组(I)线性表出。 向向量组I中任意添加一向量，构成的新向量组共有n+1个n维 向量构成，线性相关（定理2推论2） 证明：充分性：已知：任一n维向量可被向量组(I)线性表， 结论:出向量组I线性无关。 任一n维向量可被向量组I线性表出，则n维单位向量也可被 其线性表出，由(t13)可知，向量组I线性无关 求一个向量组的秩，可以把它转化为矩阵的秩来求， 这个矩阵是由这组向量为行（列）向量所排成的． 如果向量组的向量以列向量的形式给出，把向量 作为矩阵的列，对矩阵作初等行变换，这样，不仅 可以求出向量组的秩，而且可以求出极大线性无关 组． 二、求向量组的秩 若矩阵 A 经过初等行变换化为矩阵 B，则A和B中 任何对应的列向量组都有相同的线性相关性． 解 例5　证明与基础解系等价的线性无关的向量组 也是基础解系． 三、基础解系的证法 分析 (3)方程组的任一解均可由该向量组线性表示． (1)该组向量都是方程组的解； (2)该组向量线性无关； 　　　要证明某一向量组是方程组　　　的基础解 系，需要证明三个结论: 证明 　　注 当线性方程组有非零解时，基础解系的取 法不唯一，且不同的基础解系之间是等价的． 四、解向量的证法 证明 注意(1)本例是对非齐次线性方程组　　　　的解 的结构作进一步的分析和讨论，即非齐次线性方 程组一定存在着　　　　个线性无关的解，题中 (2)的证明表明了它的存在性． 　　(3)对非齐次线性方程组　　　　，有时也把 如题中所给的　　　　个解称为　　　　的基础 解系，所不同的是它的线性组合只有当线性组合 系数之和为1时，才是方程组的解． 　　(2)对齐次线性方程组，当　　　　　　时， 有无穷多组解，其中任一解可由其基础解系线性 表示． 第四章　　测试题 一、填空题 二、计算题 三、证明题 四、向量组 线性无关,问常数 满足 什么条件时,向量组 线性无关． 测试题答案 * * * * * * * * 第三章 线性方程组习题课 定义 1.线性组合 2.线性表出 定义 3.线性相关 定义:如果向量组 中有一向量 称为线性相关的. 可经其余向量线性表出，则向量组 定义：向量组 称为线性相关 如果存在 P 上不全为零的数 使 4.线性无关 定义：若向量组 　不线性相关，则称 若不存在 P 中不全为零的数 　，使　 向量组 为线性无关的. 即 则称向量组 为线性无关的. 必有 等价的，对于一个向量组 若由 则称向量组 为线性无关的. 线性相关性的性质 1）一向量组线性相关的充要条件是其中至少有一 个向量可由其余向量线性表出. 部分相关-整体相关 （整体无关-部分无关） 短向量线性无关，则加长向量线性无关； 长向量线性相关，则缩短向量线性相关 定理2 设 　 与 为两个 i) 向量组 可经 线性表出； 则向量组 必线性相关. ii) 向量组，若 推论1 若向量组 可经向量组 线性表出，且 线线性无关，则 推论2　任意 n＋1 个 n 维向量必线性相关. 推论3两个线性无关的等价向量组必含相同个数的向量 定义 5.向量组的秩 等价的向量组的秩相等． 定理 　　 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于 它的行向量组的秩． 定理 　　　设向量组B能由向量组A线性表示，则向量 组B的秩不大于向量组A的秩． 推论１ 推论：一个向量组