高考数学总复习抛物线及其性质.docVIP

第三节 抛物线及其性质 考纲解读 掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形和及其简单几何性质. 命题趋势探究 抛物线是圆锥曲线的重要内容，高考主要考查抛物线的方程、焦点、准线及其几何性质，题形上，选择、填空、解答题都有可能出现，以考查学生的运算、数形结合和分析能力为主. 预测2019年高考主要考查抛物线标准方程和性质的应用，焦点弦是重点考查的内容. 知识点精讲 一、抛物线的定义 平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线. 注 若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点. 二、抛物线的方程、图形及性质 抛物线的标准方程有4种形式：，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向（如表10-3所示） 表10-3 标准方程 yx y x O F l yx y x O F l Fy F y x O l 图形 y y x O F l 对称轴 轴 轴 顶点 原点 焦点坐标 准线方程 三、抛物线中常用的结论 1. 点与抛物线的关系 （1）在抛物线内（含焦点）. （2）在抛物线上. （3）在抛物线外. 2. 焦半径 抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，. 3. 的几何意义 为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大. 4. 焦点弦 若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论： （1）. （2）. （3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为. 焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）. （4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）. 5.抛物线的弦 若AB为抛物线 的任意一条弦， ，弦的中点为 ，则 弦长公式： 直线AB的方程为 线段AB的垂直平分线方程为 6．求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（法） （1） 焦点为 ，准线为 (2) 焦点为 ，准线为 如，即，焦点为 ，准线方程为 7．参数方程 的参数方程为 （参数） 8．切线方程和切点弦方程 抛物线的切线方程为为切点 切点弦方程为点在抛物线外 与中点弦平行的直线为此直线与抛物线相离，点（含焦点）是弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果。 题型归纳及思路提示 题型143；抛物线的定义与方程 思路提示 求抛物线的标准方程的步骤为： 先根据题设条件及抛物线定义判断它为抛物线并确定焦点位置： 根据题目条件列出P的方程 解方程求出P，即得标准方程 已知抛物线的准线与圆相切,求的值为（ ） A． B． C． 2 D．4 解析；抛物线的准线为，圆的标准方程为 ，由与圆相切，知，解得，故选C 评注 准线 是抛物线的重要性质，要熟记准线方程。 变式1 设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是（ ） A． B． C． D． 变式2 设 为抛物线上一点，为抛物线的焦点，以为圆心，为半径的圆和抛物线的准线相交，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 若点到直线的距离比它到点的距离小 ，则点的轨迹为（ ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 解析 解法一：（直接法）设 依题意有 ， 当 时， ，整理得 当 时， ，显然不成立，故点的轨迹方程为 解法二：（定义法）由题意可知，点只能在的右侧，点到直线 的距离等于它到点的距离，根据抛物线的定义知，点的轨迹是抛物线，故选D 变式1 设圆 与圆 外切，与直线 相切，则的圆心轨迹为（ ） A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．圆 变式2 动点到点的距离和到直线 的距离相等，则动点的轨迹为（ ） A．抛物线 B．直线 C．线段 D．射线 设抛物线上一点 到 轴的距离是 ，则点抛物线焦点的距离是（ ） A．4 B．6 C．8 D．12 解析 由焦半径公式 知点到焦点的距离为6，故选B 变式1 （2012四川理8）已知抛物线关于 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点 ，若点 到该抛物线焦点的距离为3，则（ ） A． B． C．4 D． 变式2 已知是抛物线的焦点， 是该抛物线上的两点， 则线段的中点到轴的距离为（ ） A． B． C． D． 变式3 设为抛物线的焦点，