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哈尔滨工程大学第十五届数学竞赛非专业大一组参考答案 一、1-13题答案 1、因为存在，故在处存在且连续，从而存在且连续。 由， 又由可得 ， 从而。 因为在处连续，所以，即。 从而，即。 ，从而。 2、记，则 。 再由和夹逼性可知， 。 3、由积分区域的对称性，可知。 由轮换性可知，， 所以。 4、由， 而， 从而。 。 所以。 5、令，则 ， 可知在区间，，……，，内单调递减。 又因为，，所以为垂直渐近线，为水平渐近线。 从而有个实根，分属于，……，（每个区间一个实根）。 6、由对称性，，设。 由对称性可知，。 方法1：。 方法2：。 7、因为柱面在点的法向量为，所以曲线C：在点的外法线上的法向量为。 ， 所以。 8、不妨设，。 由可知，存在，使得。 由可知，存在，使得。 并且，所以存在，使。 令，由可得。所以存在，，使，即，。 令，则，所以存在，使，即。 9、过A、B两点的直线方程为，所以， ， 10、因为， 。 所以。令，则有 11、由，，令可得。 所以驻点为。 令，，。 （1）对，。 取，则，从而在曲线上为极大值点。 取，则，从而在曲线上为极小值点。 总之，不是极值点。 （2）对于点，，，所以均为极小值点。极小值为-2。 12、令，则，所以原式 13、因为，， 所以，。 ， 。 所以，重心坐标为。 二、附加题答案 14、令的内侧，则 原积分式= 在前一积分式中，利用高斯公式可得其值为0； 而后一积分式=， 在利用高斯公式可得 原积分式=。 15、设在轴上方的任意争相必曲线为，在上任找两点和，使为其在中方向，过原点做一条弧，这样就构造两个过原点的封闭闭曲线，分别设为和，于是可得 ； 下求： 利用当时，积分与路径无关，得 ，于是得等式 即，在利用得