浙江科技学院线性代数矩阵的秩.pptVIP

2.6 矩阵的秩 一、矩阵秩的概念 称为矩阵A的k阶子式。 任取k行k列 由这些交叉点上的元素按 原来的相对位置构成的k阶行列式， 2阶子式 3阶子式 1阶子式 任何元素都可作为1阶子式 m ×n矩阵共有 个k阶子式 定义1 中有一个r阶子式D不等于0，且所有 r＋1阶子式（如果存在的话）都等于0， 那么 D称为矩阵A的最高阶非零子式， 数 r 称为矩阵A的秩，记作 若矩阵A中有一个s 阶子式不为0，则 若矩阵A中所有t 阶子式全为0，则 n 阶方阵A , 当 时， 当 时， 因此可逆阵又称满秩方阵，不可逆矩阵又称降秩方阵。 例1 解： 例2 解： 特点： （1）可划出一条阶梯线，线的下方全为零； （2）每个台阶 只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元． 易见，行阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数。 二、矩阵秩的求法 定理2 初等变换求矩阵秩的方法： 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩. 例3 由阶梯形矩阵有三个非零行可知 解: ① ② ③ ④ 若P、Q可逆， 定理2 定理3 A为可逆阵 则 * 定理4 证明： 小结 (2)初等变换法 1. 矩阵秩的概念 2. 求矩阵秩的方法 (1)利用定义 (把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩). (即寻找矩阵中非零子式的最高阶数); 3. 求矩阵秩的性质 作业 P83 1（1）（3）