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数学问题解决中视觉空间表征研究的综述徐 速（温州师范学院 教育科学学院，浙江 数学问题解决中视觉空间表征研究的综述 徐 速 （温州师范学院 教育科学学院，浙江 温州 325015） 摘要：数学问题解决中的视觉空间表征往往相对于言语分析表征而得到广泛的研究．根据视觉空间表征与成功解题之间 的不同关系，视觉空间表征可分为图式表征与图像表征．视觉空间表征与言语分析表征相互作用的理论模型把两种表征看作 是解题过程中互补的成分．视觉空间表征的影响因素可以归为两类：题目因素与个体因素． 关键词：数学问题解决；视觉空间表征；图式表征与图像表征；V/A 模型；深度研究 中图分类号：G421 文献标识码：A 文章编号：1004–9894（2006）01–0035–04 数学中视觉化推理的运用与数学自身一样古老．自古希 腊一直到 18 世纪，表象与图表在数学研究中受到认可并经 常使用．而到了 19 世纪，形式化成为数学的一个重要特点， 其极点是希尔伯特的形式主义．形式化推理模型的成功导致 人们对其它推理方式的排斥，其中包括视觉化推理．尽管如 此，不少数学家在研究工作中继续使用视觉化推理．一个经 常被引用的例子就是：爱因斯坦曾经提及在他的思维中语言 似乎没有任何地位，而符号以及图像却不断地复制与自由组 合．有人认为数学家应该天生具有视觉化能力；有人认为数 学家使用表象不仅支持了思维，而且是一种交流的手段．在 关于数学中表象使用的探讨中，引人注目的是波利亚的研 究．他基于自己的数学经验提出了成功解题的一系列启发性 建议，其中的一条就是“画一个图（Draw a Figure）”[1~2]． 在过去的几十年里，认知心理学家从问题表征的角度探 讨数学问题解决中的视觉化推理，即表象的作用．于是，视 觉空间表征作为一个被研究者所认可的概念而得到广泛的 研究．本文试图系统地阐述视觉空间表征的内涵与类型，视 觉空间表征与言语分析表征的相互作用理论模型，视觉空间 表征的影响因素；讨论视觉空间表征研究的教育含义；分析 该领域研究存在的问题及未来努力方向． 1 视觉空间表征的内涵与类型 1.1 视觉空间表征与言语分析表征 在人类复杂的表征系统中，既有符号概念表征系统，也 有视觉空间表象表征系统．言语分析表征与视觉空间表征被 认为是两种最主要的问题表征形式．克鲁捷斯基（Krutetskii） 基于对有天赋学生的案例研究提出这样一个观点：数学解题 中言语分析表征是基本的，而视觉空间表征是有用的但并非 必需；言语分析表征决定数学能力水平，而视觉空间表征决 定思维类型．他将学生分为 3 种类型：言语化者（Verbali- zers），解题时喜欢采用言语逻辑方式；视觉化者（Visuali- zers），解题时喜欢采用表象方式；混合者（Mixers），解题 时没有一种固定倾向．后来，Presmeg 等人认为解题者使用 表象的偏好可以构成解题视觉化程度连续体，呈正态分布， 而每个个体都是处于这个连续体上的某一点．Aspinwall 等 人认为解题时视觉空间表征的使用具有情境特殊性．因此， 言语化与视觉化的划分应该被认为是加工类型而不是个人 认知类型[3~5]． 在视觉空间表征与成功解题的关系上，许多研究表明： 表象的广泛运用不一定都能促进数学问题的成功解决，有时 甚至起妨碍作用．这与数学史上关于表象使用的不利证据的 存在相互印证．于是，人们开始质疑视觉空间表征在数学问 题解决中的价值并深入探讨不同类型的视觉空间表征[5~6]． 1.2 两种类型的视觉空间表征 1986 年 Presmeg 区分了高中生解题时 5 种常用的表象： （1）具体的图形表象（Concrete Pictorial Imagery），在头脑 中出现的图形；（2）模式表象（Pattern Imagery），以视觉空 间格式勾勒出 单纯的关系 ；（ 3 ）动觉表 象（ Kinesthetic Imagery ），包 括手的运 动和 其它姿势 ；（ 4 ）动态 表象 （Dynamic Imagery），包括对几何图形的动态转换；（5）对 公式的记忆（Memory of Formulas），视觉化者想象着写在黑 板上或他们笔记本上的公式．他指出，使用具体图形表象会 使学生拘泥于无关细节而偏离问题表征中的重要成分；而其 它几种表象均有助于问题解决，特别是模式表象在问题解决 中起着关键性作用[5]． 近年来，神经生理学以及认知心理学的研究都支持这样 一个假设：表象是由不同的、相对独立的视觉成分和空间成 分组成，即视觉表象（Visual Imagery）与空间表象（Spatial Imagery）是分离的．视觉表象是指对事物视觉表面特征的 表征，如形状、大小、颜色或亮度；空间表象是指对事物各