第5篇ch15格与布尔代数.pptVIP

引理15-4.1 设在一个布尔格中,b∧c=0当且仅当b ?c。 ? 证明：(1)先证 b∧c=0 ? b ?c 若 b∧c=0， 因为 0∨c=c ， 则 (b∧c)∨c=c 根据分配性，就有 (b∨c) ∧ (c∨c) =c 即 (b∨c) ∧1 =c 所以 b∨c =c 又因为 b? b∨c 所以 b? c (2)再证 b?c ? b∧c=0 若b?c,则b∧c?c∧c,即b∧c?0，所以b∧c=0 ? 引理15-4.2 设A,∨,∧,- 是一个有限布尔代数,若b是A中 任意非零元素， a1, a2, … , ak是A中满足aj?b 的所有原子（j=1,2,…,k） ,则 b = a1∨a2∨…∨ak ? 证明：(1)先证 a1∨a2∨…∨ak ?b 记a1∨a2∨…∨ak =c,因为aj?b,所以c ?b。 (2)再证 b ? a1∨a2∨…∨ak 由引理6-4.1知,要证b? c若是原子,只需证b∧c=0, 反设b∧c≠0,于是必有一个原子a,使得a?b∧c。 又因b∧c?b,和 b∧c?c, 所以 a?b 和 a?c , 因为a是原子,且a?b,所以a必是a1, a2, …, ak中的一 个,因此 a?c,已有a?c,得a?c∧c,即a?0, 与a是原子矛盾。 b∧c≠0假设不成立 。综合(1)和(2)定理得证。? 引理15-4.3 设A,∨,∧,- 是一个有限布尔代数,若b是A中 任意非零元素， a1, a2, … ,ak是A中满足aj?b的所有原子（j=1,2,…,k） ,则b = a1∨a2∨…∨ak是将b表示为原子之并的唯一形式。 ? 证明:设有另一种表示形式为b=aj1∨aj1∨…∨ajt 其中aj1,aj1,…,ajt是原子。因为b是aj1,aj1,…,ajt的最小上界,所以必有aj1?b, aj2?b,..., ajt?b。而a1, a2, … , ak是A中所有满足ai?b （i=1,2,…,k）的不同原子。 所以必有 t≤k 反设t?k,那么在a1, a2, … , ak中必有aj0且aj0≠ajl 于是,由aj0∧(aj1∨aj1∨…∨ajt)= aj0∧(a1∨a2∨…∨ak) 即 (aj0∧aj1)∨ (aj0∧aj2)∨ … ∨ (aj0∧ ajt) = (aj0∧a1)∨ (aj0∧a2)∨ … ∨ (aj0∧ ak) 导致的0= aj0矛盾。t?k假设不成立 。 T=k定理得证。? 引理15-4.4 在一个布尔格A, ?中,对A中 任意一个原子a和另一个非零元素b，a?b 和a?b两式中有且仅有一式成立。 ? 证明：(1)先证a?b 和a?b两式不可能同时成立 反设a?b 和a?b同时成立，就有a?b∧b=0，这与a是原子相矛盾，即a?b 和a?b同时成立。 (2)再证a?b 和a?b两式中必有一式成立 因为a∧b?a, a是原子,所以只能是 a∧b=0 或 a∧b=a 若a∧b=0，则 a∧(b) =0 ，由引理6-4.1得 a?b； 若a∧b=a,由引理6-1.6得a?b。 ? 定理15-4.3(Stone 表示定理) 设A,∨,∧,- 是由有限布尔格A, ?所诱导的一个有限布尔代数， S是布尔格中的所有原子的集合，则A,∨,∧,- 和?(S), ∪,∩,~同构。 ? 证明：本定理的证明过程分三部分 (1)构造一个映射，并证明它是双射（既是入射又是满射）； (2)描述代数系统A,∨,∧,- 和?(S), ∪,∩,~同构并证明之； (3)总结概括结论。 第(1)部分证明：对于任意a?A,必有的唯一表示： a=a1∨a2∨…∨ ak （引理15-4.2a的原子表示） 其中ai?a （i=1,2,…,k）,作映