高等数学(同济第六版)课件 第三章 4.单调性与凹凸性.pptVIP

中值定理与导数的应用 * 第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性 一、函数的单调性 若 x1, x2∈[a,b]， 当x1 x2时， 成立 f(x1) f(x2), 称f(x)在[a,b]上 单调增加。 (或f(x1) f(x2)), (或单调减少) 若 则 有f(x)在[a,b] 上单调增加 定理1 若y=f(x) 在[a,b]上连续, 在(a,b)内可导, 且 则f(x)在[a,b] 上单调增加 (或 ), (或单调减少) 例1 确定 的单调区间 解 令 得x1=1, x2=2, 当－∞x1时， f(x)在(－∞,1]上单调增加。 当1x2时， f(x)在[1,2]上单调减少。 当2x+∞时， f(x)在[2,+∞)上单调增加。 例2 确定 的单调区间 解 当－∞x0时， f(x)在(－∞,0)上单调减少。 当0x+∞时， f(x)在(2,+∞)上单调增加。 例3 当x0时,证明xln(1+x). 证 设 f(x)=x－ln(1+x). 则 因为f(x)在[0,+∞)上连续, 在(0,+∞)内可导, 所以f(x)在[0,+∞)上单增, 故x0时, f(x)f(0)=0, x－ln(1+x)0 xln(1+x). 例4 当x0时, 证明 证 设 f(x)= = x － sinx 当x0时, sinx x 在[0,+∞)上单增, 所以f(x)在[0,+∞)上单增, f(x)f(0)=0, 例5 证明当 时, 证 设 记 得g(x)单增, 得f(x)单增, 例6 证明当x1时, 证 设 f(t)= t·lnt (t≥1) 得f(t)在[1,+∞)单增, 故当x1时, 小 结 一、单调性判别定理： 二、单调性区间的确定法： 1.确定f(x)的定义域，并求出导数。 2.找出f(x)的不可导点、导数为零的点，并用这些点分割定义域为多个子区间。 3.在这些子区间上判断导数的符号，确定单调性。 三、不等式的证明： 1.设出合适的辅助函数f(x) 2.由f(x)导数的符号判断单调性，进而证出不等式。 问题:如何研究曲线的弯曲方向? 图形上任意弧段 位于所张弦的上方 图形上任意弧段 位于所张弦的下方 二、曲线的凹凸性与拐点 定义：设 f (x)在区间I上连续， 若对任意x1, x2∈I， 若恒有 称f (x)在区间I上的图形是凹的 （凸的） 问题：判断 f(x)的凹凸性？ 比较大小： ？ 若将f(x1) , f(x2)都表示成 f(x0)的形式，可比较大小， 如何表示？ 用泰勒公式！ 由f(x)的泰勒公式： 当 时, 故f (x)的图形是凹的 定理2 设 f (x)在[a, b]上连续，在(a, b)内具有 一阶和二阶导数，若在(a, b)内 则 f (x)在[a, b]上图形是凹的， 则 f (x)在[a, b]上图形是凸的。 判断曲线 y=x3 的凹凸性 点(0,0) 是该曲线凹凸的分界点！ 注意: 拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. 拐点:连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点 例7 求曲线 的凹凸区间与拐点. 解 凹的 凸的 凹的 拐点 拐点 * *