2010考研数学（二）真题及试题分析.docVIP

承载理想，启航未来 PAGE PAGE 1 启航教育集团全国客户服务咨询热线：400-678-1826 2010考研数学（二）真题及试题分析 一、? 选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定的位置上. （1）函数的无穷间断点的个数为 （A） 0 （B） 1 （C）2? （D） 3 答：应选（B）. 解析：只有间断点. 由于，所以容易计算得 故 无穷间断点只有. （2）设是一阶线性非齐次微分方程的两个特解，若常数使 是该方程的解，是该方程对应的齐次方程的解，则 （A）?? ???? （B） （C）??????? ?????? （D） 答：应选（A）. 解析：由是该方程的解得 又是一阶线性非齐次微分方程的两个特解，所以 即 . 同理由是该方程对应的齐次方程的解可得 即 故 （3）曲线与曲线相切，则 （A） 4e （B） 3e （C）2e? （D） e 答：应选（C）. 解析：设）曲线与曲线相切的切点为，则 即 （4）设均是正整数，则反常积分的收敛性 （A） 仅与的取值有关???? ???? （B） 仅与的取值有关 （C） 与的取值都有关???????? ?????? （D） 与的取值都无关 答：应选（C）． 解析：这是以为瑕点的瑕积分． 仅当均收敛时，瑕积分才收敛，否则就发散. 这里不能按反常积分敛散性概念通过求原函数的极限的方法来判断敛散性，因而只能按反常积分敛散性判别法来判断。这里的被积函数是正值函数，有如下法则： 设在上非负，在可积，又设是的瑕点，且 则当时瑕积分收敛. 由 又为正整数有收敛. . 所以反常积分的收敛性与的取值都有关?。 （5）设函数，由方程确定，其中为可微函数，且，则 （A） ? （ B） （C） （D） 答：应选（B）. 解析：方程两边分别对求偏导数，注意，由复合函数求导法得： 解出得. （6） （A） ??? ?????? （B） （C）??? ????????? （D） 答：应选（D）. 解析：将和式做如下变形： 上式可以看成两个定积分的积分和的乘积： 因此, . （7）设向量组 可由向量组线性表示.下列命题正确的是 （A） 若向量组线性无关，则?????? （B）若向量组线性相关，则? （C） 若向量组线性无关，则????? （D）若向量组线性相关，则 答：应选（A）. 解析：因为向量组 可由向量组线性表示，所以 若向量组线性无关，则，则. 其余选项结论均不能得出，可以举简单的反例说明其不正确. （8）设A为4阶实对称矩阵，且，若A的秩为3，则A相似于????? （A） ???????????? ????? （B） ? ??????（C） ???????????????? （D） 答：应选（D）. 解析：由知 那么对于有 ，因此矩阵A的特征值只能是-1或0. 又因A是实对称矩阵，A可以相似对角化（即），而的对角线上的元素既是矩阵A的特征值，再由相似矩阵有相同的秩，可知 二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）3阶常系数线性齐次微分方程的通解为 解析：方程特征方程为，即 ， 于是得特征根为 因此，通解为，其中为任意常数. （10）曲线的渐近线方程为 解析：由于，所以无水平渐近线. 显然可知无垂直渐近线. 由 ，得斜渐近线方程为. （11）函数在处的n阶导数 解析：利用麦克劳林公式可知 所以 其中 （12）当时，对数螺线的弧长为 解析：按极坐标系下弧长的计算公式，该对数螺线的弧长为 （13）已知一个长方形的长以的速率增加，宽以的速率增加，则当时，它的对角线增加的速率为 解析：由题意知的变化速率分别为 对角线长记为A，，即，两边分别对求导得 当时A=13，所以 即对角线增加的速率为. （14）设为3阶矩阵，且，则 解析：利用单位矩阵恒等变形有 可见 三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）(本题满分10分) 求函数的单调区间与极值 解析：原函数可转化为： 先求导 由解得进一步得 因此，的单调减区间是 ，单调增区间是. 极大值，极小值 （16）(本题满分10分) （Ⅰ）比较与的大小，说明理由； （