一级安全评价师条件概率、全概率公式和贝叶斯公式.docx

?条件概率、全概率公式与贝叶斯公式 　　一、背景 　　一个随机事件的概率,确切地说,是指在某些给定的条件下,事件发生的可能性大小的度量.但如果给定的条件发生变化之后,该事件的概率一般也随之变化.于是,人们自然提出:如果增加某个条件之后,事件的概率会怎样变化的?它与原来的概率之间有什么关系?显然这类现象是常有的. 　　[例1]?设有一群共人,其中个女性,个是色盲患者.?个色盲患者中女性占个.?如果={从中任选一个是色盲},?={从中任选一个是女性},此时,?.如果对选取规则附加条件:只在女性中任选一位,换一句话说,发生之后,发生的概率(暂且记为)?自然是. 　　[例2]?将一枚硬币抛掷,观察其出现正反面的情况.设事件为“两次掷出同一面”,事件为“至少有一次为正面H”.现在来求已知事件已经发生的条件下事件发生的概率. 　这里,样本空间.易知此属于古典概型问题.已知事件已发生,有了这一信息,知道不可能发生,即知试验所有可能结果所成的集合就是.中共有3个元素,其中只有属于.于是,在发生的条件下,发生的概率为 　　对于例1,已知 　　容易验证在发生的条件下,发生的概率 　　对于例2,已知 　　容易验证发生的条件下,发生的概率 　　对一般古典概型,?容易验证:只要,则在发生的条件下,?发生的概率, 　　总是成立的. 　　在几何概率场合,如果向平面上单位正方形内等可能任投一点,则当发生的条件下,?这时发生的概率为 　　由此可知对上述的两个等可能性的概率模型,总有成立. 　　其实,还可以验证,?这个关系式对频率也是成立的.于是,从这些共性中得到启发,引入下面的一般定义. 　　二、条件概率 　　若是一个概率空间,,若,则对于任意的,称 　　为已知事件发生的条件下,?事件发生的条件概率. 　　[例3]?一盒子中装有4只产品,其中有3只是一等品,1只是二等品.从中取产品两次,每次任取一只,作不放回抽样,设事件为“第二次取到的是一等品”,事件为“第一次取到的是一等品”,试求条件概率 　　解:易知此属古典概型问题.将产品编号：1,2,3号为一等品,4号为二等品.以表示第一次、第二次分别取到第号、第号产品.试验E (取产品两次,记录其号码)的样本空间为 　　={(1,2),(1,3),(1,4), (2,1),(2,3),(2,4), (3,1),(3,2),(3,4), (4,1),(4,2),(4,3)} 　　={(1,2),(1,3),(1,4), (2,1),(2,3),(2,4), (3,1),(3,2),(3,4)} 　　={(1,2),(1,3), (2,1),(2,3), (3,1),(3,2)} 　　由条件概率公式得, 　　[例4]?一个家庭中有两个小孩,已知其中有一个是女孩,问这时另一个小孩也是女孩的概率?(假定一个小孩是女孩还是男孩是等可能的) 　　解:据题意样本空间为 　　={(男,女),(男,男),(女,女),(女,男)} 　　={已知有一个是女孩}={(男,女),(女,女),(女,男)} 　　={另一个小孩也是女孩}={(女,女)} 　　于是,所求概率为 　　三、条件概率的性质 　　(1)非负性:对任意的 　　(2)规范性:? 　　(3)可列可加性:若为一列两两不相交的事件,有 　　证明:(1)?因为所以 　　(2)由于,所以 　　(3)由于两两不相交,所以也必然两两不相交,所以 　　 　　四、乘法公式 　　由条件概率的定义知:?设,则.于是, 　　　 　　这就是概率的乘法公式. 　　如果,同样有 　　设且则 　　证明?因为,依条件概率的定义,上式的右边 　　五、乘法公式的应用例子 　　[例5] 设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下时未打破,?第二次落下时打破的概率为7/10,?若前两次时未打破,?第三次落下时打破的概率为9/10,试求透镜落下三次而未打破的概率. 　　解:以表示事件“透镜第次落下时打破”,以表示事件“透镜三次落下而未打破”.?因为,故有 　　[例6] 设袋中装有只红球,只白球.每次自袋中任取一只球,观察其颜色后放回,并再放入只与所取出的那个球同色的球.若在袋中连续取球四次,试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率. 　　解:以表示事件“第次取到红球”,分别表示事件第三、四次取到白球.所求概率为 　　[例7] (卜里耶模型)罐中有只黑球,只红球,随机地取一只之后,把原球放回,并加进与抽出的球同色之球只,再摸第二次,这样下去共摸次.问前次出现黑球,后面次出现红球概率是多少? 　　解:以表示事件“第k次取到黑球”,?表示事件“第次取到红球”,则 　　由一般乘法公式, ? 　　1.?在例7中,最后答案与黑球和红球出现的次数有关,而与出现的顺序无关. 　　2.卜里耶模型被卜里耶