妙设待定系数用基本不等式求多元函数最值.docVIP

妙设待定系数用基本不等式求多元函数最值 江苏省东海县白塔高级中学 陈大连 邮编 222345 电话基本不等式是我们喜爱运用的重要不等式之一，用基本不等式求函数的最值常常简捷明快，然而由于非对称多元函数的最值较难看出是在何时取得的，要想运用基本不等式求其最值，我们常常不得不设待定的常数，以顺利实现解题意图. 例1 （《数学通讯》2015年第1、2期问题201）已知，求的最小值. 解 设待定常数先满足，则 . 当即时取等号.此时即.易发现，时此不等式成立. ，从而有，当时等号成立，所以所求函数的最小值为. 例2 （《数学通讯》2013年第11、12期问题）已知，求的最大值与最小值. 解 由条件知，所以 ，当或时等号成立，所以的最大值是3. 下求最小值. 设是待定的常数，且，则， ， . 令，得，，，所以 ，当， 时取“=”.所以的最小值是. 例3（《学数学》数学贴吧2016年第一季探究问题2）设为正实数，记，试问：当分别取何值时，取得最小值？ 解 设为待定系数，且先满足，则 令，，，则，从而，解得，所以.当即 即即时等号成立，故最小值为. 例4（《数学教学》第904号问题）已知均为正数，求的最大值. 解 设为待定的常数，先规定，则 . 令，则可解得，所以 ，从而 ，又由于等号可以取到，所以所求函数的最大值为. 注 这个解法的思路是通过放缩，使分子小于等于分母与一个常数的积，从而放缩后分子与分母可约分得到一个常数，这个常数也就是所求的最大值，请读者体会这一思路.本题还可以令，再化为求解.同样由齐次性，本题可变式为：已知均为正数，且，求的最大值. 例5 （《数学通讯》2015年第5、6期问题216）已知，求的最大值. 解 设为待定的常数，先规定，则 . 令，则，，从而 ，当且即时取“=”号.所以所求函数的最大值为. 注 本题实质上是求的最大值.从解题过程可以看出，一般地，若，，则 . 从以上几例我们足可看出待定系数法之于非对称多元函数最值问题的巨大威力，试想，如果我们不用待定系数法，我们能知道所配乘的系数或配加的常数是多少吗？也许简单的可以想到，但复杂的就不易了，而待定系数法却可以做到. 待定系数法运用之关键在于待定系数的设法，那么如何设、设几个，又如何得知方法能否奏效？这些均与解题过程的设计有关.以上各例在设计时运用基本不等式，根据需要或对因式配乘待定系数或对和式中的项配加待定常数，使我们所拟定的方案顺利实施，因此，要想用好待定系数法，必须做到过程设计合理.待定系数法体现的是方程的思想，我们所设的待定系数其实就是未知数，有时不只设一个，可能设两个或更多个，这要根据需要确定，但一般来说要尽量少设，减少未知数的个数，以便于解方程.而上例中列方程的方法或根据基本不等式取等条件，或根据系数比例关系等，通常所列方程的个数（独立的）不多于未知数的个数，这样方程（组）一般有解，而有解也就等于说待定系数法是奏效的. 最后，为加深领会待定系数法的运用方法，笔者精选几道练习题供读者练习使用： 1．（《数学教学》第702号问题）设，求的最大值. 2．设，求的最小值. 3．（2008年全国高中数学联赛吉林省预赛）已知，，求的最小值.