第三章晶格动力学和晶体的热学性质.pptVIP

3.1 一维单原子链振动 3.2 一维双原子链振动 3.3 三维晶格振动 格波量子——声子 3.4 离子晶体中的长光学波 3.5 非完整晶格的振动 局域模 3.6 晶格比热容 3.7 晶格状态方程和热膨胀;第一节 一维单原子链振动;运动方程 ;为了建立起运动方程，我们首先要对原子之间的相互作用力做些讨论，设在平衡时，两原子的相互作用势为V(a)，产生相对位移（例如 ）后势能发生变化是V(a+δ) ，将它在平衡位置附近做泰勒展开：; 显然，这只适用于微振动，即δ值很小的情况。此时，恢复力：; 如只考虑最近邻原子间的相互作用，第 n 个原子受到的力：;方程的解：这样的线性齐次方程应有一个波形式的解：; 这个结果与 n 无关，说明 N 个方程都有同样结果，即所有原子都同时以相同的频率ω和相同的振幅 A 在振动，但不同的原子间有一个相差，相邻原子间的相差是 。 该结果还表示：只要ω和q 满足上述关系，试解就是联立方程的解。通常把ω和 q 的关系称作色散关系。;都是整数）。;;这种性质称作格波的简约性。一维单原子链的倒格矢：; 由图明显看出两个不同波长的格波只表示晶体原子的一种振动状态，q 只需要在第一布里渊区内取值即可，这是与连续介质弹性波的重大区别。;周期性边界条件（Born－Karman 边界条件）; 周期性边界条件并没有改变方程解的形式，只是对解提出一定的条件，q 只可取N个不同的值，每个q对应着一个格波。;;;;在布里渊区边界处：;入射波; 该图表明了波矢的等价性，是以移动一个倒格矢量为准。; 上面求解可以推广到平面点阵，但有纵波和横波之分，它们的原子位移状况是不同的，横波情形可用同样方法求解，也将得到类似结果。; 例.求由5个原子组成的一维单原子晶格的振动频率。设原子质量为m，恢复力常数为? (只考虑近邻原子间的相互作用)。;由玻恩---卡门周期性边界条件:;由色散关系式可画图如下:;且;; 晶体中任一个原子，当其原胞标数增加N（N为晶体中原胞的个数 ）后，其振动情况复原。由N个原胞组成的单原子链，由玻恩---卡门周期性边界条件:;(共N个值); ??长波近似的情况下，晶体可视为连续介质，格波可视为弹性波。;模型;第二节 一维双原子链振动;运动方程及其解：;设晶格常数为 2a，平衡时相邻两原子的间距为a，原子间的力常数为 ?。在 t 时刻，两种原子的位移分别为： ;若只考虑近邻原子间的弹性相互作用，则运动方程为：;有解条件是久期方程为零：;带隙;零点和布里渊边界数值的确定：利用④式讨论。;两支格波的物理意义的讨论：; 这表明，在长波极限下，原胞内两种原子的运动完全一致，振幅和位相均相同，这时的格波非常类似于声波，所以我们将这种晶格振动称为声学波或声学支。事实上，在长波极限下，晶格可以看成连续的弹性介质，格波类似于声波。; 相邻两种不同原子的振幅都有相同的正号或负号，即对于声学波，相邻原子都是沿着同一方向振动的，其振动概括如下图所示，当波长相当长时，声学波实际上代表元胞质心的振动。;而从色散关系可以看到：; 称作光学支振动的说明： 如果原胞内为两个带相反电荷的离子(如离子晶体)，那么正负离子的相对振动必然会产生电偶极矩，而这一电偶极矩可以和电磁波发生相互作用。在某种光波的照射下，光波的电场可以激发这种晶格振动，因此，我们称这种振动为光学波或光学支。; 长波极限下：q很小，cos(qa)≈1，又;;两种振动模式原子位移更细致的示意图（纵波情形）;周期性边界条件;第三节 三维晶格的振动;;原胞中各原子的平衡位置记做：; 作用力的表示十分复杂，因为要涉及到上下左右的近邻。这里我们只作定性讨论，就不具体写出了。 它也是一组线性齐次方程 ，其解应和一维相同：;; 三维结果同样要使用周期性边界条件，q 同样在第一布里渊区内取N个（原胞数）值。因此在波矢空间，每个q占据的体积是：N分之一的倒格子体积 ：; 结论： N个原胞每个原胞有n个原子的三维晶体， 晶体中格波的支数 ＝ 原胞内的自由度数：3n 其中 3 支为声学支（1支纵波、2支横波） 3n－3支为光学支（也有纵波、横波之分） 晶格振动的波矢数 ＝ 晶体的原胞数 N 晶格振动的模式数 ＝ 晶体的自由度数 3nN;