高中数学第四章导数及其应用4.4生活中的优化问题举例基础达标湘教版选修2 2.docVIP

生活的色彩就是学习 生活的色彩就是学习 K12的学习需要努力专业专心坚持 K12的学习需要努力专业专心坚持 生活的色彩就是学习 K12的学习需要努力专业专心坚持 4．4　生活中的优化问题举例 eq \a\vs4\al\co1(基础达标　?限时20分钟?) 1．设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边 长为 (　　) A.eq \r(3,V) B.eq \r(3,2V) C.eq \r(3,4V) D．2eq \r(3,V) 解析　设底面边长为x，则表面积S＝eq \f(\r(3),2)x2＋eq \f(4\r(3),x)V(x0)， S′＝eq \f(\r(3),x2)(x3－4V)，令S′＝0，得唯一极值点x＝eq \r(3,4V). 答案　C 2．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成 本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(x3,900)＋400x，0≤x≤390，,90 090，x＞390，))则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是 (　　)． A．150 B．200 C．250 D．300 解析　∵总利润P(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(x3,900)＋300x－20 000，0≤x≤390，,90 090－100x－20 000，x＞390，)) 由P′(x)＝0，得x＝300，故选D. 答案　D 3．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平 方成正比，比例系数为k(k0)，贷款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x(x∈(0,0.048))，则x为多少时，银行可获得最大收益 (　　)． A．0.016 B．0.032 C．0.024 D．0.048 解析　依题意：存款量是kx2，银行应支付的利息是kx3，贷款的收益是0.048kx2，其中x∈(0,0.048)． 所以银行的收益是y＝0.048kx2－kx3(0x0.048)， 由于y′＝0.096kx－3kx2，令y′＝0得x＝0.032或x＝0(舍去)， 又当0x0.032时，y′0； 当0.032x0.048时，y′0， 所以当x＝0.032时，y取得最大值，即当存款利率为0.032时，银行可获得最大收益． 答案　B 4．正三棱柱体积为16，当其表面积最小时，底面边长a＝________. 解析　表面积：S＝eq \f(\r(3),2)a2＋eq \f(64\r(3),a)(a0)， S′＝eq \r(3)a－eq \f(64\r(3),a2)， 令S′＝0，得唯一极值点， a＝eq \r(3,64)＝4. 答案　4 5．某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出 (200－x)件，当每件商品的定价为________元时，利润最大． 解析　利润为S(x)＝(x－30)(200－x)＝－x2＋230x－6 000，S′(x)＝－2x＋230.由S′(x)＝0得x＝115，这时利润达到最大． 答案　115 6．(2011·福建)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单 位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝eq \f(a,x－3)＋10(x－6)2，其中3x6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． ①求a的值；②若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大． 解　①因为x＝5时，y＝11， ∴eq \f(a,2)＋10＝11，∴a＝2. ②由①知，y＝eq \f(2,x－3)＋10(x－6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝(x－3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,x－3)＋10?x－6?2))＝2＋10(x－3)(x－6)2,3x6. ∴f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)． 当3x4时，f′(x)0；4x6时，f′(x)0. ∴f(x)在(3,4)上递增，(4,6)上递减． 当x＝4时，f(x)取得最大值，f(4)＝42. 即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得利润最大． eq \a\vs4\al\co1(综合提高　?限时25分钟?) 7．(2011·北京)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元， 若每批生产x件，则平均仓储时间为eq \f(x,8)天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生