八年级数学竞赛.doc

PAGE 1 - 校 本 课 程 数学 林伟政 林红梅 蔡珏男 目录 第1讲： 面积与面积方法 第2讲： 一次函数 第3讲： 生活中的数学 第4讲： 逻辑推理 第5讲： 组合数学 第1讲：面积与面积方法 一、知识拓展： 例1、（第12届“希望杯”试题）如图，矩形ABCD的面积是300，H、E、F分别是AD、BC、CD上的点，且AD=4HD，BC=3BE，F是CD的中点，求图中阴影部分的面积。 解析：解法一： AD=4HD， AH=AD。 。 同上，可得 。 阴影部分的面积= 解法二：如图2，连结BD、ED。 AD=4HD， 。 BC=3BE， 。 F是CD的中点，BC=3BE， 。 阴影部分的面积为=。 例2、如图，正方形的边长是a，分别以四条边为直径画半圆，求图中4个半圆弧所围成的阴影部分的面积。 解析：阴影部分的面积=。 点评：四个半圆重叠成阴影部分，形成了一个正方形，所以四个半圆的面积减去正方形的面积等于阴影部分的面积。 例3 如图，梯形ABCD被对角线分成4个小三角形，已知的面积为25，的面积为35，那么梯形ABCD的面积是（ ）。 A.144 B.140 C 解析： AB∥DC， ∴ ，（同底等高） ∴ ， 即 。 又∵ ， ∴ ， ∴ 。 故选A。 点评：利用同底等高，可以将三角形的面积进行转化。同时，利用线段之比，可以将面积联系起来。 试一试，你能求出题中的值吗？ 。 根据、、的值，你能得到什么猜想？ 如果AB∥CD，则有==。将绕着O点旋转一定的角度，则得到图16—7（2），仍然有==，故得到图16—7（3）中的规律：如果DE∥BC，则有==。 在AB∥CD的条件下，通过三角形的面积与三角形的底和高的关系，很容易证明。证明略。这一个结论在面积问题、线段比问题中有着广泛的应用。 例4、（第14届“希望杯”全国初一数学邀请赛第一试试题）如图，的面积为25，AE＝ED，BD＝2DC，则阴影部分的面积为___________。 解析：设，。 ∵ AE＝ED，∴ ，， ∵ BD=2DC，∴ 。 又∵ ，∴ （m+n）+(m+n)+(m+n)=25，∴ m+n=10， 即阴影部分的面积为10。 点评：从已知条件出发，由D点的位置可得到， ，E是AD的中点，可得。适当地添加辅助线，可以充分地利用线段的比。 例5、（2000年新加坡数学竞赛题）如图，AD、BE、CF交于△ABC内一点P，并将△ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形的面积已在图中给出，求△ABC的面积。 解析：设未知的两个三角形的面积为x和y，则 ，即 ① 又，即 ② ①②，得 ，解得y＝35。 再由②得x＝56。 因此，。 点评：引入方程的思想，通过面积比与线段比之间的转化实现目标。 二、全能训练： 1、如图，已知的面积为1，且。求的面积。 已知平行四边形ABCD中，E是AB的中点，AB＝10，AC＝9，DE＝12，求平行四边形ABCD的面积S。 如图，E、F是正方形ABCD的两边AB、BC的中点，AF、CE交于G点。若正方形的面积等于1。求四边形AGCD的面积。 如图，内三个三角形的面积分别为5、8、10，求四边形AEFD的面积。 三角形三条高的长度分别为3、4、5。当三边长都取最小整数时，求最短边的长度。 如图，在直角梯形ABCD中，底边AB＝13，CD＝8，AD⊥AB，且AD＝12。求A到BC边的距离。 如图，长方形ABCD的面积是150，E是AB的四等分点，F是BC的三等分，G是CD的中点，求的面积。 如图，长方形APHM、BNHP、CQHN的面积分别为7、4、6，求的面积。 如图，在长方形ABCD中，E是AD的中点，F是CE的中点，若的面积为6，求长方形ABCD的面积。 10、如图，的面积为1，、、的面积相等，求的面积。 第2讲：一次函数 一、知识拓展： 形如（、都是常数，且）的函数称为一次函数。若，则称函数为正比例函数，我们称与成正比例关系。 一次函数的图像是一条直线，正比例函数图像是经过原点的直线。时，随的增大而增大；时，随的增大而减小。 在解决有关一次函数的问题时，常运用数形结合及分类讨论的思想。待定系数法是研究函数解析式的基本方法。在实际问题中还要注意对自变量的要求。 例1、对于一次函数。 若其图像经过第一、三、四象限，化简 若函数为正比例函数，且与的图像关于轴对称，求的值。 解：依题意得：，解得：，于是 故 若该函数为正比例函数，则且，于是 故其解析式为. 而点在直线上，它关于轴的对称点是将代入得. 点评：若两正比例函数的图像关于轴对称，则系数值互为相反数。 例2、设