傅里叶变换及其性质课件.ppt

傅里叶变换及其性质;2.1 引 言 ;2.2 周期信号的连续时间傅里叶级数 ;周期性方波信号 ;2.2.2 周期信号频谱的特点 ;为得到该信号的频谱，先求其傅里叶级数的复振幅。 ;2.2.3 周期信号的频谱 周期信号的复振幅 一般为nΩ的复函数，因而描述其特点的频谱图一般要画两个，一个称为振幅频谱，另一个称为相位频谱。振幅频谱以ω为横坐标，以振幅为纵坐标画出谱线图；相位频谱以ω为横坐标，以相位为纵坐标得到谱线图。 若信号的复振幅 为nΩ的实函数，其复振幅Fn与变量(nΩ)的关系也可以用一个图绘出。 ; 取样函数定义为 ;图 2.2-3 Sa(x)函数的波形 ;图 2.3-4 周期矩形脉冲信号的频谱 ; 由图 2.3-4 可以看出，此周期信号频谱具有以下几个特点： 第一为离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，所以此频谱称为不连续谱或离散谱。  第二为谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率Ω的整数倍频率上，即含有Ω的各次谐波分量，而决不含有非Ω的谐波分量。  第三为收敛性，此频谱的各次谐波分量的振幅虽然随nΩ的变化有起伏变化，但总的趋势是随着nΩ的增大而逐渐减小。 当nΩ→∞时，|Fn|→0。 ;图 2.3-5 不同τ值时周期矩形信号的频谱 (a) τ=T/5; (b) τ=T/10 ;图 2.2-6 不同T值时周期矩形信号的频谱 (a) T=5τ; (b) T=10 τ ; 周期矩形脉冲信号含有无穷多条谱线，也就是说，周期矩形脉冲信号可表示为无穷多个正弦分量之和。在信号的传输过程中，要求一个传输系统能将这无穷多个正弦分量不失真地传输显然是不可能的。实际工作中，应要求传输系统能将信号中的主要频率分量传输过去，以满足失真度方面的基本要求。周期矩形脉冲信号的主要能量集中在第一个零点之内， 因而，常常将ω=0~ 这段频率范围称为矩形脉冲信号的频带宽度。记为 ;2.3.3 周期信号的功率 ;因此，据函数正交分解中的帕塞瓦尔定理(式(2.1-16))，有 ;2.4 非周期信号的连续时间傅里叶变换 ;对于非周期信号，重复周期T趋于无限大，谱线间隔趋于无穷小量dω，而离散频率nΩ变成连续频率ω。在这种极限情况下，Fn趋于无穷小量，但 可望趋于??限值，且为一个连续函数，通常记为F(jω)，即 ; 非周期信号的傅里叶变换可简记为 ;2.4.2 非周期信号的频谱函数 ;f(t)为实函数时，根据频谱函数的定义式不难导出: ; 与周期信号的傅里叶级数相类似，F(ω)、φ(ω)与R(ω)、 X(ω)相互之间存在下列关系： ; 在f(t)是实函数时： (1) 若f(t)为t的偶函数，即f(t)=f(-t)，则f(t)的频谱函数F(jω)为ω的实函数， 且为ω的偶函数。 (2) 若f(t)为t的奇函数，即f(-t)=-f(t)，则f(t)的频谱函数F(jω)为ω的虚函数，且为ω的奇函数。 与周期信号类似，也可将非周期信号的傅里叶变换表示式改写成三角函数的形式，即 ;;2.4.3 典型信号的傅里叶变换 ;图 2.4-1 门函数及其频谱 (a) 门函数； (b) 门函数的频谱； (c) 幅度谱； (d) 相位谱 ;例 2.4-2 求指数函数f(t)的频谱函数。 ;其振幅频谱及相位频谱分别为 ;例 2.4-3 求图 2.4-3(a)所示双边指数函数的频谱函数。 ;图 2.4-3 双边指数函数及其频谱 (a) 双边指数函数； (b) 频谱 ;例 2.4-4 求图 2.4-4(a)所示信号f(t)的频谱函数。;(a0);例 2.4-5 求单位冲激函数δ(t)的频谱函数。 ;解 ;根据分配函数关于δ(t)的定义， 有 ;例 2.4-6 求直流信号1的频谱函数。 ;解 直流信号1可表示为 ;例 2.4-7 求符号函数Sgn(t)的频谱函数。 ;当α→0时，其极限为符号函数Sgn(t)。因而可以用求f(t)的频谱函数F(jω)当α→0的极限的方法来求得Sgn(t)的频谱函数。 例 2.4-4 所示信号的频谱函数为 ，从而有 ;图 2.4-7 符号函数Sgn(t)及其频谱 (a)Sgn(t)的波形； (b) 频谱 ;例 2.4-8 求阶跃函数ε(t)的频谱函数。 ;图 2.4-8 阶跃函数及其频谱 (a) ε(t)的波形； (b) 频谱 ;表 2.1 常用傅里叶变换对 ;续表 ;2.5 傅里叶变换的性质 ;1. 线性;2. 时移性 若f(t) ←→ F(jω)， 且t0为实常数(可正可负