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机器人操作的数学导论——刚体运动(1——3)[精编文档] 一、刚体变换 刚体运动是物体上任意两质点间距离始终保持不变的连续运动。刚体从一位置到另一位置的刚体运动称为刚体位移（平动与转动）。 刚体变换： 满足下列条件的变换g:R3-R3为刚体变换： 1)长度不变： 2）叉积不变： 对任意点 二、三维空间中的旋转运动 旋转矩阵： Rab=[xab yab zab] 物体相对于定坐标系的每一次旋转，对应于 一个该形式矩阵 旋转矩阵性质： 设R R3×3为旋转矩阵，则： ① RRT=I ② detR=+1 (右手坐标系） 将满足这两个性质的3×3矩阵的集合记为SO（3），可用旋转矩阵表示刚体变换 二、三维空间中的旋转运动 群：对于用算子。构成的二元运算集合G，若满足下面条件则构成一个群。 物体相对于定坐标系的每一次旋转，对应于 一个该形式矩阵 可以证明SO（3）是一个以单位矩阵I作为单位元素、以矩阵乘法作为 群运算的群。 旋转矩阵可通过矩阵相乘来组成新的旋转矩阵： Rac=RabRbc 上式称为旋转的合成法则 二、三维空间中的旋转运动 旋转矩阵对点的最用： 对坐标系B中的点qb(xb yb zb),可得其在A坐标系中的坐标 qa=Rabqb 旋转矩阵对矢量的作用： 对坐标系B中的矢量Vb=qb-pb,则 Rab(Vb)=Rabqb-Rabpb=qa-pa=Va 二、三维空间中的旋转运动 两矢量的叉积是一个线性算子，可用表示为：a×b=(a)^b 后面常用符号a来代替(a)^ 引理2.1 对给定的R∈SO(3)和v,w∈R3,则存在下列性质 R(v×w)=(Rv) ×(Rw) (两矢量叉积的旋转=旋转的叉积） R(w)^RT=(Rw)^ 定理2.2 旋转运动是刚体变换 旋转矩阵R∈SO(3)是一个刚体变换 二、三维空间中的旋转运动 2.2 旋转的指数坐标 研究物体绕给定轴转过一定角度的旋转运动，w∈R3表旋转方向的单位矢量，θ∈R为旋转角度，则该旋转运动可表示为： 通过数学方法可以得到： 当||w||≠1时，上式可修正为： 二、三维空间中的旋转运动 2.2 旋转的指数坐标 定理2.3 指数变换是SO（3）上的满射变换 对给定的R∈SO(3),存在w∈R3,||w||=1及θ∈R，使R=exp((w)^θ) 定理2.4 任意姿态R∈SO(3)等效于绕固定轴w∈R3,θ∈[0,2π] 该法并不唯一，当R=I时，W（θ取0）有无穷多中。 二、三维空间中的旋转运动 2.3 四元数 四元数可用与描述空间旋转运动，它是一个矢量，一般形式为： 简洁表达式为：Q=（q0,q），其中q0∈R,q∈R3 二、三维空间中的旋转运动 2.3 四元数 两四元数内积： 给定Q=（q0,q），其中q0∈R,q∈R3，可获得相应的旋转 描述旋转群还可以使用欧拉角来描述。 三、三维空间中的刚体运动 如右图刚体的位姿可以表示为（pab,Rab) 记为式1 三、三维空间中的刚体运动 3.1 齐次坐标法 那么齐次坐标表示为 刚体变换的组合将构成新的变换： 定理2.5 SE（3）中的元素表示刚体运动 三、三维空间中的刚体运动 3.2 刚体运动的指数坐标和运动旋量 首先定义一个群se(3)： 定理2.6 从se(3)到SE（3）的指数变换 三、三维空间中的刚体运动 3.2 刚体运动的指数坐标和运动旋量 描述的不是点在不同坐标系间的变换，而是点 由初始位置p(0)∈R3到经如下刚体转动后的位置坐标间的变换 上式中p(θ),p(0)均在同一坐标系中表示。类似，若gab(0)表示刚体相对于A系的起始位姿，，那么现对于A系的最终位姿为： 对于一运动旋量来说，指数变换反映的是刚体的相对运动，每一个刚体变换都可写为某个运动旋量的指数。 三、三维空间中的刚体运动 3.2 刚体运动的指数坐标和运动旋量 3.3 旋量：运动旋量的几何表示 定理2.7 建立在SE（3）的指数变换是满射变换 se(3)中的元素 称为运动旋量 * *