第四节-无穷小量的比较.pptVIP

两个无穷小之比的极限的各种不同情况，反映了不同的无穷小趋向于零的快慢程度．所以无穷小量的比较是指这种趋向于0的“快”与“慢”的比较，可以用它们在同一变化过程中的比值的极限来衡量． 第四节　无穷小量的比较 为比较两个无穷小趋向于零的快慢程度引入无穷小阶的概念.为了方便,在下面的讨论中,记号“ Lim ”是指对自变量的某一过程成立. 定义1.11 设 、 是同一极限过程中的两个无穷小. (1) 如果 ,则称 是比 高阶的无穷小, 并记为 (2) 如果 ,则称 与 是等价无穷小,记 作 ～ . (3) 如果 ( , ),则称 与 是同阶 的无穷小; (4) 如果 ,则称 比 是高价无穷 小,记 。（可归结为第一种情 况） 注意 不是所有无穷小量都可以比较的. 比如，当 x →0 时， 不存在. 所以这两个无穷小量是不可比较的，即它们之间不存在同阶或高阶的关系. 说明: 若两个无穷小之比的极限不存在（不属于无穷大型的不存在）,则这两个无穷小就不能进行比较. 　　定理 1　设? ( x ) ~ ?1( x )，b ( x ) ~ b1( x )， 且 存在(或无穷大量)， 则 也存在或(无穷大量)， 并且 四、等价无穷小替代求极限 常用的等无穷小有: 当 时 ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ 例 1 解　因为 x →0 时， ln (1 + x) ~ x， ex - 1 ~ x， 所以 例 2 解　因为 x →0 时， tan 5x ~ 5x， 所以 注意　作等价无穷小替换时，在分子或分母为和式时，通常不能将和式中的某一项或若干项以其等价无穷小替换，而应将分子或分母整个地加以替换； 若分子或分母为几个因子之积，则可将其中的某个或某些因子以其等价无穷小替换； 简言之，乘积因子方可作等价无穷小量替换。 例 3 解　因为 x →0 时， 所以 例 4 解 若直接用 x 代替 tanx 及 sinx， 　　因为，虽然 tanx ? x，sinx ? x ，但 tanx - sinx ? 0 则不成立，因此，这里用 0 代替 tanx – sinx 是错误的. 是错误的. 则 练习