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高中函数定义存在的问题与修订建议 摘要分析了人教A版函数定义存在的几个问题：一是教材中函数 定义违背了 “定义要相称”的规则；二是定义中同一个符号或字母的意义 不完全同一；三是教材中函数定义的叙述不够简明。针对这些问题，对函 数定义提出了修订建议。 关键词函数定义下定义修订 数学对于人思维培养最重要的作用在于培养人的理性思维（精神）， 而培养人的理性思?S （精神）最根本的实现路径是培养人的逻辑思维。概 念、判断和推理是逻辑思维的三大基本形式，其中概念是逻辑思维最基本 的形式，可以说概念是逻辑思维的细胞。数学概念是数量关系和空间形式 的本质属性或特征在人脑屮的反应。函数作为研究变量Z间关系的科学， 在数学中占冇极其重要的地位。“函数是数学的灵魂”（克莱因语）［1］。 函数作为数学中最核心的基本概念之一，不仅是高中数学最重要的一条教 学主线，而且是培养学生逻辑思维十分宝贵的教学素材。因此，函数定义 具有较高的教育价值和研究价值。 对高中函数定义本身存在的逻辑问题，至今尚未看到相关的研究与文 献。本文对函数定义本身存在的逻辑问题提岀质疑，并作一些分析和探讨。 为研究简单，以冃前全国使用最多的人教A版高屮数学教材（必修1）（以 下简称教材）为例，对教材中函数定义存在的逻辑问题进行了分析，提岀 了修订意见。 一、函数定义存在的问题 教材中函数定义为：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对 应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的 数f (x)和它对应，那么就称f： A-B为从集合A到集合B的一个函数 (function),记作y二f (x), xGA。其中,x叫做自变量,x的取值范围 A叫做函数的定义域(domain)；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数 值的集合｛f(X)|xWA｝叫做函数的值域(range) [2]o 研究数学概念的一项重要工作是给概念下定义。按照逻辑学的要求， 下定义必须遵守4条规则：“定义要相称，定义不得循环，定义要简明即 简单、明确，定义一般不用否定形式” [3]。其中，定义耍相称是指定义 项的外延与被定义项的外延必须相等。十三院校协编组编写的《中学数学 教材教法总论》(第二版)第121页也写了这4条规则，并对“定义应简 明”作了解释，即“定义屮不应列举非本质属性或者多余的词语” [4]。 这4条规则是判断一个定义是否存在逻辑问题的重要标准。学科教学专家 和中学一线教师在编写教材或使用教材时应该示范性地遵守下定义的4条 规则。 笔者依据下定义必须遵循的规则，结合自己的思考发现，教材中函数 定义违背下定义的两条规则，即违背了 “定义要相称”和“定义要简单、 明确”。由此推知，教材中函数定义存在三个问题：一是教材中函数定义 违背了 “定义耍相称”的规则；二是定义屮同一个符号或字母的意义不完 全同一，具体表现在定义中有些相同字母的意义不尽同一或一致；三是教 材中函数定义的叙述不简明。 1 ?教材中函数定义违背了 “定义要相称”的规则 函数按自变量的个数分类，可以分为一元函数和多元函数，因此，“函 数”概念的外延等于“一元函数”的外延加“多元函数”的外延。从函数 定义的字面意义来看，被定义项是“函数”，而定义项是“一元函数”，因 此，被定义项的外延不等于定义项的外延，这就违背了 “定义耍相称”的 规则。被定义项是“函数”还意味着，这里的“函数”可以是“一元函数” 也可以是“多元函数”，很显然，被定义项的外延扩大了。例如，z=x-2y 或f (x, y)二x-2y是函数吗？这显然是一个二元函数，当然是函数。但 如果用上述定义判断，z二x-2y不是函数，这显然是荒谬的。因为教材中函 数定义实质上是“一元函数”的定义，而不是“多元函数”的定义。所以， 荒谬是用“一元函数”的定义去判断二元函数造成的。因此，笔者建议， 高中函数定义应指明：“那么就称f： A-B为从数集A到数集B的一个一 元函数，简称为函数”，加上“一元”二字就保证了 “定义要相称”。 2.定义中同一个符号或字母的意义不完全同一 按照逻辑学的要求，在一个定义中，同一个词语、同一个符号它们的 意义(含义)必须保持同一性，也就是应该保持前后一致。 定义中x共出现了9次，其意义不完全同一或不完全一致。x第一次 出现在“一个数x”或“任意一个数x”，这里的x是一个数；x第二次出 现在“数f (x)”，这里的f (x)表示一个数，那么x也是数，但这里x 的有多少个呢，情况是非常复杂的；第三、四次x出现在“y二f(X), xe A”，这里的x是自变量。可以看出，x有时是一个数，有时是自变量。还 需要思考的问题是，定义中x出现的次数能够减少吗? 字母A岀现了 7次。第一次出现在“设A、B是非空的数集”，第二次 的表述变成“集合A”。很明显，第