“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用.pdfVIP

“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用 “直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半” 是直角三角形的重要性质之一， 而且斜边上的中线将 直角三角形分割成两个顶角互补、 底角互余的两个等腰三角形， 如能善于把握图形特征， 恰当地构造并 借助直角三角形斜边上的中线， 往往能帮助我们迅速打开解题思路， 从而顺利地解决问题， 下面举例说 明． 一、有直角、有中点，连线出中线，用性质 例 1．如图 1，BD、CE是△ABC 的两条高， M是 BC的中点， N 是 DE 的中点．试问： MN与 DE有什么关系？证明你的猜想． 猜想： MN垂直平分 DE. 图 1 1 证明：如图：连接 ME、MD，在 Rt△BEC中，∵点 M是斜边 BC的中点，∴ ME= BC，又 NE＝ND，∴ 2 直线 MN是线段 DE的垂直平分线，∴ NM⊥DE．即 MN垂直平分 DE. 评析：题目中给出了三角形的两条高与两个中点， 联想“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半” ， 问题便迎刃而解． 二、有直角、无中点，取中点，连线出中线，用性质 0 1 A D 例 2．如图 2 ，在 Rt △ABC 中，∠ C=90 ，AD∥BC，∠ CBE= ∠ABE， 2 求证： DE=2AB F 分析：欲证 DE=2AB，则可寻 DE的一半，再让其与 AB相等， E 图 2 1 取 DE的中点 F，连 AF，则 AF=FD= DE，可证得△A FD， B C 2 △ABF 均为等腰三角形，由此结论得证． 1 证明： DE的中点 F，连 AF，则 AF=FD= DE，所以∠ DAF=∠ADF，又因为 AD∥BC，所以∠ CBE=∠ADF， 2 1 又因为∠ CBE= ∠ABE，所以∠ ABF=∠AFB，所以 AF=AB，即 DE=2AB． 2 评析： 本题是有直角、无中点的情况，这时要取直角三角形的斜边上的中点，再连结该点与直角顶 点，然后用性质来解决问题． P 三、有中点、无直角，造直角，用性质 例 3．如图 3 ，梯形 ABCD中，AB∥CD，M、N 是 AB、CD的中点， D C