矢量的代数运算和微积分.ppt

* * 矢 量 大学物理补充知识 一 矢量和标量 二 矢量的描述 三 矢量的加减 四 矢量的乘除 一　矢量(vector)和标量(scalar quantity) 标量：只具有大小而没有方向的物理量，我们把它称之为标量。 矢量：既具有大小又具有方向的物理量，我们把它称之为矢量。 如：温度 T、功A 等 如:力 、速度 、电场 等 例：功 1 ，图示法 2， 解析法 矢量的描述 1 矢量的图示法 矢量具有平移不变性(translation invariant)：把矢量在空间中平移，矢量的大小和方向不会改变，这种性质称为矢量平移的不变性。 思考 1 和 是什么关系？ 矢量表示为： 所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。 其中： 为矢量的模，表示该矢量的大小。 为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。 在直角坐标(rectangular coordinates)中 单位矢量，分别指向三个坐标轴的正方向。 一个矢量　，可以用它在直角坐标系中的三个投影分量(component)　　　　和　来表示： 在直角坐标(rectangular coordinates)中的表示：一个矢量　，可以用它在直角坐标系中的三个投影分量(component)　　　　和　来表示： ：单位矢量，分别指向三个坐标轴的正方向。 二、矢量的运算法则 1.加法: 矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形规则。 a.满足交换律： b.满足结合律： 矢量的模(module)：矢量的大小称为矢量的模。矢量 　 的模记为：　或　　。 为速度 方向上的单位矢量 vx vy 3 4 速度 例： 单位矢量：矢量 　 的方向为单位矢量 的方向，矢量 可以表示为　　 。 在球坐标中的表示： 其中：　为矢量　的模，　为指向矢量　方向的单位矢量(unit vector)。 方向余弦(directional cosine)：一个矢量　 与直角坐标三个坐标轴正向的夹角　　　和　称为矢量　 的方向余弦。显然有： 用方向余弦表示 vx vy 3 4 速度 例：写出以下物理量在直角坐标系中的表达式 直角坐标系中矢量的模为 1. 矢量相加几何法则 三角形法则： 平行四边形法则： ? ? ? 2. 矢量相减几何法则 ? ? ? 三　矢量的加减 1.　矢量相加(addition) 2.　矢量相减(minus) 由于矢量　　与　　方向相反，大小相等，有： 矢量合成的解析法 矢量相减 矢量的加减合称为矢量的合成(compose,　sum) 在直角坐标(rectangular coordinates)中的表示：一个矢量　，可以用它在直角坐标系中的三个投影分量(component)　　　　和　来表示： ：单位矢量，分别指向三个坐标轴的正方向。 四　矢量的乘除 1.　矢量的标积(scalar product) 矢量的标积也称为矢量的点乘，定义为 标积的定义得： 实质是一矢量大小与另一矢量在其方向上投影大小乘积 矢量的标积遵守 (1) 交换率： (2) 结合率： 2.　矢量的矢积(vector product) 矢量的矢积也称为矢量的叉乘，定义为： 其中　为由　和　根据右手螺旋定则判定的单位矢量。 由矢积的定义得： 记忆方式 正向叉乘为正，逆向叉乘为负。 叉乘具有以下性质： (1)　不遵守交换率： (2)　遵守分配率： (3)　平行或反平行的两矢量的矢积为0。 注意坐标轴的右手螺旋定则 五　矢量的微积分 1. 　矢量的微分(differential) 只要把矢量的性质应用于标量的导数公式即可：