01数学模型的建立和数值求解.pptVIP

近似函数是一族带有待定参数的已知函数，一般形式是 式中，ai是待定参数，Ni是称为试探函数（或基函数、形函数）的已知函数。 在通常n取有限数的情况下近似解是不能精确满足方程和全部边界条件的，它们姜产生残差R和 ，称为余量。用n个规定函数来代替任意函数V及 ，即 就可以得到近似的等效积分形式 也可以写成余量形式 上式的意义是通过选择待定系数ai，强迫余量或残差在某种平均意义上等于零。 Wj和 称为权函数。 余量的加权积分为零就得到一组求解方程，用以求解近似的待定系数a，从而得到原问题的近似解。 采用使余量的加权积分为零的方法来求微分方程的近似解的方法称为加权余量法。 加权余量法的分类——权函数的不同选择 配点法 取 若域Ω是独立坐标x的函数， 则有如下性质：当 时，Wj=0，有 这种方法相当于简单地强迫余量在域内n个点上等于零。 子域法 在n个子域Ωj内Wj=I，在子域Ωj以外Wj=0。此方法的实质是强迫余量在n个子域Ωj的积分为零。 最小二乘法 近似解取 则权函数 此方法的实质是使得函数 取最小值。 即要求 力矩法 以一维问题为例，微分方程A(u)=0，取近似解 并假定已满足边界条件。令 得 此方法是强迫余量的各次矩等于零，通常又称为积分法。 迦辽金法 取Wj=Nj，在边界上 =-Wj=-Nj。即简单地利用近似解的试探函数序列作为权函数。近似积分形式可形成 定义近似解 的变分 为 其中 是完全任意的，由此，可以更简洁的表示为 变分原理和能量法 若设自变量为x，因变量为y，则因变量y是自变量x的函数，可表示为y=y(x) 泛函J的自变量是函数y=y(x)，即泛函是函数的函数，可以表示为J=J(y)=J[y(x)] 凡是由一个或多个函数的选取而确定的变量称为泛函 对泛函在某一区域内求极值（包括极大值与极小值）称为变分问题，对泛函求极值的方法称为变分法。 连续介质问题的变分法 首先建立一个泛函，它由积分形式确定 （式1） 其中u是未知函数，F和E是特定的微分算子，Ω是求解域，Γ是Ω的边界。 求泛函的极值就是要使δΠ=0 求泛函的基本过程如下： 将未知函数的近似解表示为一族包含待定参数的试探函数： （式2） 式中，a是待定参数，N是已知函数。将（式2）带入（式1），得到用试探函数和待定参数表示的泛函Π。 泛函的变分为零相当于将泛函对所包含的待定参数进行全微分，并令所得的方程等于零，即 由于δa1，δa2，…是任意的，满足上式时必然有 都等于零。因此可以得到一组方程： 这是与待定系数个数相等的方程组，用以求解a。这种求近似解的经典方法叫做里兹（Ritz）法。 知识回顾Knowledge Review 工程材料学 * 模拟方法：如果模型的结构及性质已经了解，但是数量描述及求解却相当麻烦。如果有另一种系统，结构和性质与其相同，而且构造出的模型也是类似的，就可以把后一种模型看作是原来模型的模拟，对后一个模型去分析或实验，并求得其结果。 钢铁材料中裂纹在外载荷作用下尖端的应力、应变分布，采用环氧树脂制备成具有同样结构的模型，并根据钢铁材料中裂纹形式在环氧树脂模型加工出裂纹，借助实验光测力学的手段来完成分析。 类比分析法：如果有两个系统，可以用同一形式的数学模型来描述，则此两个系统就可以互相类比。类比分析法是根据两个（或两类）系统某些属性或关系的相似，去猜想两者的其他属性或关系也可能相似的一种方法。 例：在聚合物的结晶过程中，结晶度随时间的延续不断增加，最后趋于该结晶条件下的极限结晶度，现期望在理论上描述这一动力学过程（即推导Avrami方程）。 聚合物的结晶过程包括成核和晶体生长两个阶段，这与下雨时雨滴落在水面上生成一个个圆形水波并向外扩展的情形相类似，因此可以通过水波扩散模型来推导聚合物结晶时的结晶度与时间的关系。 数据分析法：当有若干能表征系统规律、描述系统状态的数据可以利用时，就可以通过描述系统功能的数据分析来连接系统的结构模型。回归分析是处理这类问题的有利工具。 许多力学