折叠几何综合专题---16道题目(含答案).docVIP

. . 01如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG. (1)求证：四边形EFDG是菱形； (2)探究线段EG，GF，AF之间的数量关系，并说明理由； (3)若AG＝6，EG＝2eq \r(5)，求BE的长． (1)证明：由折叠性质可得，EF＝FD，∠AEF＝∠ADF＝90°，∠EFA＝∠DFA，EG＝GD，∵EG∥DC，∴∠DFA＝∠EGF， ∴∠EFA＝∠EGF，∴EF＝EG＝FD＝GD，∴四边形EFDG是菱形； (2)解：EG2＝eq \f(1,2)GF·AF.理由如下： 如解图，连接ED，交AF于点H， ∵四边形EFDG是菱形， ∴DE⊥AF，FH＝GH＝eq \f(1,2)GF，EH＝DH＝eq \f(1,2)DE， ∵∠FEH＝90°－∠EFA＝∠FAE，∠FHE＝∠AEF＝90°， ∴Rt△FEH∽Rt△FAE，∴eq \f(EF,AF)＝eq \f(FH,EF)，即EF2＝FH·AF， 又∵FH＝eq \f(1,2)GF，EG＝EF，∴EG2＝eq \f(1,2)GF·AF； (3)解：∵AG＝6，EG＝2eq \r(5)，EG2＝eq \f(1,2)AF·GF，∴(2eq \r(5))2＝eq \f(1,2)(6＋GF)·GF， 解得GF＝4或GF＝－10(舍)，∴GF＝4，∴AF＝10. ∵DF＝EG＝2eq \r(5)，∴AD＝BC＝eq \r(AF2－DF2)＝4eq \r(5)， DE＝2EH＝2eq \r(EG2－（\f(1,2)GF）2)＝8， ∵∠CDE＋∠DFA＝90°，∠DAF＋∠DFA＝90°， ∴∠CDE＝∠DAF，∵∠DCE＝∠ADF＝90°， ∴Rt△DCE∽Rt△ADF，∴eq \f(EC,DF)＝eq \f(DE,AF)，即eq \f(EC,2\r(5))＝eq \f(8,10)， ∴EC＝eq \f(8\r(5),5)，∴BE＝BC－EC＝eq \f(12\r(5),5). 02如图，将矩形ABCD沿对角线BD对折，点C落在E处，BE与AD相交于点F，若DE＝4，BD＝8. (1)求证：AF＝EF； (2)求证：BF平分∠ABD. 证明：(1)在矩形ABCD中，AB＝CD，∠A＝∠C＝90°， ∵△BED是△BCD对折得到的， ∴ED＝CD，∠E＝∠C， ∴ED＝AB，∠E＝∠A，(2分) 又∵∠AFB＝∠EFD， ∴△ABF≌△EDF(AAS)， ∴AF＝EF；(4分) (2)在Rt△BCD中，∵DC＝DE＝4，BD＝8， ∴sin∠CBD＝eq \f(DC,BD)＝eq \f(1,2)， ∴∠CBD＝30°，(5分) ∴∠EBD＝∠CBD＝30°， ∴∠ABF＝90°－30°×2＝30°，(7分) ∴∠ABF＝∠EBD， ∴BF平分∠ABD.(8分) 03把一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合（E、F两点均在BD上），折痕分别为BH、DG。 （1）求证：△BHE≌△DGF； （2）若AB＝6cm，BC＝8cm，求线段FG的长。 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠A=∠C=90°，∠ABD=∠BDC，∵△BEH是△BAH翻折而成，∴∠1=∠2，，∠A=∠HEB=90°，AB=BE，∵△DGF是△DGC翻折而成，∴∠3=∠4，∠C=∠DFG=90°，CD=DF，∴△BEH与△DFG中，∠HEB=∠DFG，BE=DF，∠2=∠3，∴△BEH≌△DFG， （2）∵四边形ABCD是矩形，AB=6cm，BC=8cm，∴AB=CD=6cm，AD=BC=8cm，∴BD= = =10，∵由（1）知，BD=CD，CG=FG，∴BF=10-6=4cm，设FG=x，则BG=8-x，在Rt△BGF中，BG2=BF2+FG2，即（8-x）2=42+x2，解得x=3，即FG=3cm． 【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质及矩形的性质，全等三角形的判定，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键． 04把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和顶点D重合，折痕为EF．若BF=4，FC=2，则∠DEF的度数是　． 考点：翻折变换（折叠问题）。 专题：计算题。 分析：根据折叠的性质得到DF=BF=4，∠BFE=∠DFE，在Rt△DFC中，根据含30°的直角三角形三边的关系得到∠FDC=30°，则∠DFC=60°，所以有∠BFE=∠DFE=（180°﹣60°）÷2，然后利用两直线平行内错角相等得到∠DEF的度数． 解答：解：∵矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和顶点D重合，折痕为