导函数大题类型总结.docVIP

PAGE 8 . . 【对分类讨论的考查】 【例1】（2010西城一模）设且≠0，函数.（1）当时，求曲线在（3，）处切线的斜率；（2）求函数的极值点。 【总结】解决这类问题，我们应该注意以下几点： 函数的定义域； 当对原函数求导时，如果导函数化简完以后时一个二次函数且为形如或时，这时一般地就是用“十字交叉”法把导函数等于零的根求出来（偶尔不能利用十字交叉求出这个二次函数的根，这时只能利用二次函数的对称轴或者求根公式把这个方程的根求出来（详见2011海淀二模文科试题）；（注：形如形式的导函数，一般的采用变量分类的方法去处理，如2011石景山一模） 因为我们所要讨论的极值问题，极值点问题，函数的单调性问题都是在函数的定义域里面讨论的，所以这时要分类讨论导函数等于零的根在不在这个定义域内，如果在定义域内，那么解出来的这个方程的两个根那个大，那个小，这时就要分类讨论。 分类讨论时，第一步应该先把函数的定义域标在数轴上，然后把导函数等于零的根标在数轴上，然后再讨论两个根那个大，那个小，在不在区间里面等等。 变式与拓展： 【1】 (2011北京丰台第一学期期末文)已知函数．（Ⅰ）若曲线在点处的切线与x轴平行，求a的值；（Ⅱ）求函数的极值． 【2】（2010北京考试院调研试题文）设，函数． （Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求函数在上的最小值. 【3】（2010北京宣武一模文）已知函数 （I）若x=1为的极值点，求a的值； （II）若的图象在点（1，）处的切线方程为，求在区间[-2，4]上的最大值； （III）当时，若在区间（-1，1）上不单调，求a的取值范围. 【例2】（2011西城一模）已知函数.（Ⅰ）求函数的极值点；（Ⅱ）若直线过点，并且与曲线相切，求直线的方程；（Ⅲ）设函数，其中，求函数在区间上的最小值.（其中为自然对数的底数） 【总结】解决这类问题，就是首先求函数导函数等于零的值，然后再把函数的定义域画在数轴上，然后分别得讨论导数等于的自变量在各个小区间上的最值即可。 变式与拓展： 【1】（2011北京朝阳一模）已知函数，. （Ⅰ）若曲线在点处的切线垂直于直线，求的值； （Ⅱ）求函数在区间上的最小值. 【2】（2011北京文）已知函数. （Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）求在区间[0,1]上的最小值. 【3】（2011北京东城二模文）已知函数()． （Ⅰ）若，求证：在上是增函数； （Ⅱ）求在上的最小值。 【例3】（2011海淀二模文）已知函数 （ = 1 \* ROMAN I）若，求函数的解析式； （ = 2 \* ROMAN II）若，且在区间上单调递增，求实数的取值范围. 【总结】解决这类问题一般的有如下两种方法： 求函数的导函数得对称轴，然后再让对称轴和函数的区间的左右端点处比较大小，然后分别求出函数的导函数在每一小区间上的最值； 首先判断导函数的判别式，然后再用求根公式求出导函数的两个根（有时候不一定是两个根），然后再让这两个根和区间的两个端点处比，然后再求出导函数的最值即可。 变式与拓展： 【1】（2010北京海淀二模理）已知函数，其中a为常数，且. （Ⅰ）若，求函数的极值点； （Ⅱ）若函数在区间上单调递减，求实数a的取值范围. 【对变量分类法的考查】（参数分离） 【例4】（2011石景山一模）已知函数 （Ⅰ）若的解析式；（Ⅱ）若函数在其定义域内为增函数，求实数的取值范围． 【总结】解决这类问题，就是想办法把含有参数的变量移到不等式的一边去，然后再利用均值不等式或者新构造一个函数，然后再求这个函数的最值即可。同时要注意运用均值不等式的条件：一正，二定，三相等。 变式与拓展： 【1】（2011东城第一学期期末文）已知函数．（Ⅰ）求函数的单调区间与极值；（Ⅱ）若对于任意，恒成立，求的取值范围． 【文科生选做】（2011东城第一学期期末理）已知函数． （Ⅰ）求函数在上的最小值；（Ⅱ）若存在（为自然对数的底数，且）使不等式成立，求实数的取值范围． 【2】（2010北京东城二模文）已知函数． （Ⅰ）若函数在其定义域上为增函数，求的取值范围；（Ⅱ）设（），求证：．(注：此题第一学期期末以前只做第一问) 【3】（2010北京宣武二模文）已知函数． （Ⅰ）当时，求函数的单调递增区间； （Ⅱ）若在区间上是减函数，求实数的取值范围． 变式与拓展： 【对函数在某个区间上是不是单调函数的考查】 【例5】（2011东城一模）已知函数，且． （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）设函数，若函数在上单调递增，求实数的取值范围． 【例6】(2011清华附中高三第二学期开学考试题)（2009浙江）已知函数 ．（I）若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值； （II）若函数在区间上不单调，求的取值范