Runge现象的演示(内含 L 和 N 插值多项式).docx

实验4_2 Runge现象的演示(内含 L 和 N 插值多项式) 【实验目的】 1、了解并掌握matlab软件的基本应用方法； 2、初步了解matlab中部分函数，熟悉循环语句的使用； 3、通过上机进一步掌握Lagrange插值多项式的建立。 【实验内容】 （1）【实验一】 Lagrange 插值多项式 (1)首先把本程序另存为一个不同的文件名； (2)把下面程序中开头的注释去掉,再把问号填写正确； .(2) 【实验二】Newton 插值多项式 对于Newton插值多项式,可以不计算差分表(矩阵),而直接计算差分表中的对角元(实际上只用到这些值),这样就能大大减少储存空间,P79 图4-5 就是这种方法, 请你证明图中y(k)就是差分表的对角元,并注意后 半部分就是 Horner 算法. 按此法编程 【解】:手工分析怎样求解这题。 【计算机求解】:怎样设计程序？流程图？变量说明？能否将某算法设计成具有形式参数的函数形式？ 【实验一】Lagrange 插值多项式 【程序如下】: function y=lagrange(X,Y,x); n=length(X);m=length(x); for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n t=1.0; for j=1:n if j~=k t=t*(z-X(j))/(X(k)-X(j)); end end s=t*Y(k)+s; end y(i)=s; end f = inline(1./(1+25*x.^2)); n = 30; X = linspace(-1,1,n); Y = f(X); x = -1 : 0.01 : 1; y=lagrange(X,Y,x); plot(x,f(x),r,X,Y,o,x,y,b) title(Runge现象) legend(y=1/(1+25*x^2),插值点 ,等分的30次插值多项式,0) 【运行结果如下】 将n改为50次，得到下面图像： 【结果分析】 通过实验，可以更直观的将插值的结果展现出来，同时还能发现格式插值的弊端。由图可知，并非插值多项式的次数越高，逼近的精度越好。相反，当n增大时，Pn(x)上下振荡更加剧烈，这就是高次插值多项式产生的不收敛现象——龙格现象。 【实验二】 Newton 插值多项式 【程序如下】: function[c,d]=newploy(x,y) n=length(x); d=zeros(n,n); d(:,1)=y; for j=2:n for k=j:n d(k,j)=(d(k,j-1)-d(k-1,j-1))/(x(k)-x(k-j+1)); end end c=d(n,n); for k=(n-1):-1:1 c=conv(c,poly(x(k))); m=length(c) c(m)=c(m)+d(k,k); end t=0:0.1:6; z=t.^3-4*t; x=[1 2 3 4 5 6]; y=[-3,0,15,48,105,192]; plot(t,z,x,y,ro);grid 【运行结果如下】： 【结果分析】： 本程序给出了计算牛顿插值多项式的函数，通过调用函数可以求得牛顿多项式与待估算 点的值，作出了节点及待求多项式的函数图像，能够比较清晰的通过图像显示出来，总体来说，计算结果是比较理想的，达到了我们的目的。