柯西不等式(原始版)题型分类.doc

柯西不等式（原始版）的习题分类 柯西不等式已经成为高考当中的新贵，去年全国卷II的选修4-5不等式选讲，已经出现了柯西不等式命题，因此对柯西不等式几种典型习题加以分类，有助于知识的掌握。 柯西不等式（原始版） ，当且仅当向量，同向时候成立，如果时，那么当且仅当时成立。 ，当且仅当时等号成立。 ，当且仅当时等号成立。 由以上柯西不等式（原始版）来看，柯西不等式是齐次，不等式左右两边的式子的次数相等，因此做题的时候可以抓住这个关键进行应用。 常见题型 1、。 例1、已知，且，求的最小值。 解析：这道题的方法非常多，利用二元的均值定理可以求解，但是应用柯西不等式更加方便。考虑最后求解的形式一定是，为某个常数，那么不等式左边次，右边为0次，并不相等，所以左边要乘以，这样左边变成了，次数就成为了0，就可以应用柯西不等式。 ，当且仅当时等号成立，所以的最小值为4。 显然以上对例1的求解，柯西不等式比均值定理更为简单，有些优势，而且柯西不等式的应用范围更加广泛。 例2、若，求证。 解析：可以直接应用柯西不等式 ，当且仅当时等号成立。 练习： 1、已知，证明：。 2、已知，证明：。 提示：。 3、已知，并且，求的最小值。 提示：；；。 4：已知，证明。 提示：设，，则，且。 例3、已知，求的取值范围。 解析：这道题可以用椭圆求切线的方法，也可以利用参数方程，但是利用柯西不等式会更简单。 这类问题是转化形如（为某两个常数）的柯西不等式进行求解，关键是常数的确定。观察柯西不等式，有，，相应的，，易得。 所以，即，所以。 例4、已知，求的取值范围。 分析：需要转化为形如的柯西不等式， 有，，，解得。 解：，即，所以。 例5、已知，求的最小值。 解析：，即，所以， 当且仅当，即，或时等号成立，所以的最小值为。 例6、求函数的最大值。 解析：设，则（一定要是其平方和为常数），则，由柯西不等式，，即，所以，当且仅当，即时等号成立。 练习： 已知，求的最小值。 如果，则。 求函数的最大值。