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函数的概念讲义
姓名:
(一)函数的有关概念
设A,B是非空的数集,如果按某个确定的对应关系,使对于集合A中的任意一个,在集合B中都有唯一确定的数和它对应,那么就称为从集合A到集合B的函数,记作
, xA
其中叫自变量,的取值范围A叫做函数的定义域;与的值相对应的的值叫做函数值,函数值的集合(B)叫做函数y=f(x)的值域.
函数符号表示“y是x的函数”,有时简记作函数.
(1)函数实际上就是集合A到集合B的一个特殊对应
这里 A, B 为非空的数集.
(2)A:定义域,原象的集合;:值域,象的集合,其中 ? B ;:对应法则 , ?A , ?B
(3)函数符号: 是 的函数,简记
(二)已学函数的定义域和值域
1.一次函数:定义域R, 值域R;
2.反比例函:定义域, 值域;
3.二次函数:定义域R
值域:当时,;当时,
(三)函数的值:关于函数值
例:=+3x+1 则 f(2)=+3×2+1=11
注意:1?在中表示对应法则,不同的函数其含义不一样
2?不一定是解析式,有时可能是“列表”“图象”
3?与是不同的,前者为变数,后者为常数
(四)函数的三要素: 对应法则、定义域A、值域
只有当这三要素完全相同时,两个函数才能称为同一函数
(五)区间的概念和记号:
在研究函数时,常常用到区间的概念,它是数学中常用的述语和符号.
设a,bR ,且ab.我们规定:
①满足不等式axb的实数x的集合叫做闭区间,表示为[a,b];
②满足不等式axb的实数x的集合叫做开区间,表示为(a,b);
③满足不等式axb 或axb的实数x的集合叫做半开半闭区间,分别表示为[a,b) ,(a,b].
这里的实数a和b叫做相应区间的端点.
这样实数集R也可用区间表示为(-,+),“”读作“无穷大”,“-”读作“负无穷大”,“+”读作“正无穷大”.还可把满足xa,xa,xb,xb的实数x的集合分别表示为[a,+,(a,+),(- ,b,(- ,b).
【例题解析】
例1 判断下列各式,哪个能确定y是x的函数?为什么?
(1)x2+y=1 (2)x+y2=1 (3) (4)y=
例2 求下列函数的定义域:
(1) (2)
例3 已知函数=3-5x+2,求f(3), f(-), f(a+1).
例4 已知 ,求,,,
讨论:函数y=x、y=()、y=、y=、y=有何关系?
例5 下列各组中的两个函数是否为相同的函数?
⑴ ⑵
练习:下列各组中的两个函数是否为相同的函数?
① = ; = 1.
② = x; = .
③ = x 2; = .
④ = | x | ;= .
例6 已知函数=4x+3,g(x)=x,求f[f(x)],f[g(x)],g[f(x)],g[g(x)].
复合函数:设 f(x)=2x?3,g(x)=x2+2,则称 f[g(x)] =2(x2+2)?3=2x2+1(或g[f(x)] =(2x?3)2+2=4x2?12x+11)为复合函数
例7求下列函数的值域(用区间表示):
(1)y=x-3x+4; (2);
(3)y=; (4).
例8 ※ 动手试试
1. 若,求.
2、设f(x)=,则f[f()]=( )
(A) (B) (C)- (D)
3.设函数,则
4、已知a,b为常数,若则
5.函数, 则( )
A.2 B.-2 C. D.
6. 设?(x+1)的定义域为[-2,3)则?(+2)的定义域为___({x|x≤ EQ \f(-1,3)或x EQ \f(1,2)}
函数的概念习题:
1.如下图可作为函数的图像的是( )
(A) (B) (C) (D)
2.对于函数,以下说法正确的有 ( )
①是的函数;②对于不同的的值也不同;③表示当时函数的值,是一个常量;④一定可以用一个具体的式子表示出来。
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.在下列四组函数中,f(x)与g(x)表示同一函数的是( )
A.f(x)=x-1,g(x)=
B.f(x)=|x+1|,g(x)=
C.f(x)=x+1,x∈R,g(x)=x+1,x∈Z
D.f(x)=x,g(x)=
4.拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f(m)=1.06×(0.5·[m]+1)(元)决定,其中m>0,[m]是大于或等于m的
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