第一节矩阵的概念.docxVIP

第二章 矩阵代数基础 学习目的与要求 1、了解矩阵概念产生的背景； 2、了解矩阵对研究线性方程组的重要作用以及在实际生产和和社会生活中的广泛应用； 3、掌握矩阵的定义以及与行列式的区别和联系； 4、掌握矩阵运算的定义和运算性质，特别是矩阵的乘法的特殊性，以及与经济活动的关联； 5、掌握方阵的方幂、方阵的行列式、矩阵的转置、分块矩阵等概念及运算； 6、掌握方程组的矩阵表示； 7、掌握可逆矩阵的概念、性质，掌握矩阵可逆的充分别要条件以及求可逆矩阵初等变换法； 8、掌握特殊矩阵——向量的线性相关性的概念和用定义判断线性相关性的方法，了解向量组的极大无关组和秩的概念。 内容介绍 矩阵在线性代数中具有重要地位，而且是代数研究的重要对象和工具，同时，它在数学的其它分支以及自然科学、现代经济学、管理学和工程技术领域等方面都具有广泛的应用.本章概要介绍矩阵代数的基本概念和方法。 第一节 矩阵的概念 问题提出 案例1、某工厂生产三种产品，它们的成本分为三类.以下给出生产单个产品时，估计需要每一类成本的量，同时给出每个季度每种产品生产数量的估计.具体由表1和表2给出. 上面两个报表，在明确它们的具体内容的情况下，可以简单表示为如下数表形式 案例2、以下是三位同学期中和期末三门课程的成绩表 期中成绩表 学科 成绩 张凡 李丽 王风 数学 90 85 68 语文 78 86 74 外语 94 79 82 期末成绩表 学科 成绩 张凡 李丽 王风 数学 91 80 78 语文 88 87 84 外语 97 87 82 这两个成绩表也可以简单的表示为以下数表形式 QUOTE 908568788674947982 和 QUOTE 9180 案例3、给定三元一次线性方程组 QUOTE 2x1+5x2 它的未知量也可以用x,y,z或其它什么符号来表示，即决定此方程组的只是未知数的系数和常数项。我们可以把这些系数和常数项单列出来，并保持它们原来的相对位置，就得到一个数表， QUOTE 21-4 5 3 它可以决定此方程组。 问题研究：对于这些不同问题中的数表，我们将统一引进矩阵概念。 一、矩阵的定义 定义1 由个数排成的行列的数表 称为行列矩阵, 简称矩阵. 为表示它是一个整体, 总是加一个括弧, 并用大写黑体字母表示它, 记为 这个数称为矩阵的元素, 称为矩阵的第行第列元素. 一个矩阵也可简记为 元素是实数的矩阵称为实矩阵, 元素是复数的矩阵称为复矩阵, 本书中的矩阵都指实矩阵(除非有特殊说明).所有元素均为零的矩阵称为零矩阵, 记为O. 若矩阵的行数与列数都等于n，则称为阶方阵, 记为. 三、几种特殊矩阵 1、向量 一行的矩阵 称为行向量. 一列的矩阵 称列向量，它们统称为向量。 2、对角矩阵和数值矩阵 阶方阵 称为阶对角矩阵,对角矩阵也记为 . 特别地，若 QUOTE λ1，λ2，? . 称为数值矩阵。 3、单位矩阵 阶方阵 称为阶单位矩阵, 阶单位矩阵也记为 （或 ）。 四、矩阵概念的一些应用举例 矩阵在许多实际问题中都有应用，下面给出利用矩阵表达实际问题的的一些例子。 例1 某农场今年交售粮食800吨，肉类22吨，水果14吨，这些数据可以用一个行向量 （800 22 14） 来表示。 例2、对于某家电商场存有电视机的数量。如不考虑品牌和规格，存货量可以用一个数值来描述。比如109台。如果要区分规格，比如21吋、25吋、29吋等几种规格，且各规格台数为30、30、49.此时可以用一个行向量 （30 30 49） 表示。 进一步，若还要指明电视机的品牌，比如，该商店现有松下、长虹、三星、海尔等几种品牌，则此商店各种品牌的各种规格的存货量，要用一个 QUOTE 4×3 的矩阵才能明确表达 此矩阵各行表示各个品牌，各列表示各种规格，位于行列相交处的数字就是某品牌、某种规格电视机的存货。比如，第2行第3列的数字表示长虹29吋电视机存货11台。 例3 生产n种产品，需要消耗m种原材料，以 QUOTE aij 表示生产一个单位第j种产品需要消耗第i种原材料的数量，则这些消耗