高中数学不等式恒成立问题(专题).docVIP

浅谈高中数学不等式恒成立问题 近年来全国各地高考数学试题，考查不等式恒成立的有关试题非常普遍，这类问题既含参数又含变量，往往与函数、数列、方程、几何有机结合起来，具有形式灵活、思维性强、不同知识交汇等特点..不等式恒成立的问题既含参数又含变量，往往与函数、数列、方程、几何有机结合起来，具有形式灵活、思维性强、不同知识交汇等特点. 考题通常有两种设计方式：一是证明某个不等式恒成立，二是已知某个不等式恒成立，求其中的参数的取值范围.解决这类问题的方法关键是转化化归，通过等价转化可以把问题顺利解决，下面我就结合自己记得教学经验谈谈不等式的恒成立问题的处理方法。 构造函数法 在 解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，即构造函数法，然后利用相关函数的图象和性质解决问题，同时注意在一个含多个变量的数 学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更加面目更加清晰明了，一般来说，已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数.例如 例1.已知不等式对任意的都成立，求的取值范围. 解：由移项得:.不等式左侧与二次函数非常相似，于是我们可以设则不等式对满足的一切实数恒成立对恒成立.当时，即 解得故的取值范围是. 评注：此类问题常因思维定势，学生易把它看成关于的不等式讨论，从而因计算繁琐出错或者中途夭折；若转换一下思路，把待求的x为参数，以为变量，令则问题转化为求一次函数（或常数函数）的值在内恒为负的问题，再来求解参数应满足的条件这样问题就轻而易举的得到解决了。? 分离参数法 在不等式中求含参数范围过程中，当不等式中的参数（或关于参数的代数式）能够与其它变量完全分离出来并，且分离后不等式其中一边的函数（或代数式）的最值或范围可求时，常用分离参数法. 例2设函数f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数x，f(x)0恒成立，求m的取值范围； (2)对于x∈[1,3]，f(x)－m＋5恒成立，求m的取值范围． [解析]　(1)若m＝0，显然－10恒成立； 若m≠0，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m0，Δ＝m2＋4m0))?－4m0. ∴m的取值范围为－4m≤0. （2）：f(x)－m＋5恒成立， 即m(x2－x＋1)－60恒成立． ∵x2－x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)0， 又m(x2－x＋1)－60， ∴meq \f(6,x2－x＋1). ∵函数y＝eq \f(6,x2－x＋1)＝eq \f(6,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋\f(3,4))在[1,3]上的最小值为eq \f(6,7)， ∴只需meq \f(6,7)即可． ∴m的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(6,7))) 注：此类问题可把要求的参变量分离出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧看成新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题：若对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则；若对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则. 三、利用跟的分布（数形结合法） 关于x的不等式(1＋m)x2＋mx＋mx2＋1对x∈R恒成立，求实数m的取值范围． 解析：原不等式等价于mx2＋mx＋m－10，对x∈R恒成立， 当m＝0时，0·x2＋0·x－10对x∈R恒成立． 当m≠0时，由题意，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m0，,Δ＝m2－4m?m－1?0))?eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m0，,3m2－4m0))?eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m0，,m0，或m\f(4,3)))?m0. 综上，m的取值范围为m≤0. 如果不等式中涉及的函数、代数式对应的图象、图形较易画出时，可通过图象、图形的位置关系建立不等式求得参数范围. 四、最值法 当不等式一边的函数（或代数式）的最值较易求出时，可直接求出这个最值（最值可能含有参数），然后建立关于参数的不等式求解. 对于任意实数x，不等式│x+1│+│x-2│＞a恒成立，求实数a的取值范围 分析①：把左边看作x的函数关系，就可利用函数最值求解.　　解法1：设f（x）=│x+1│+│x-2│=-2x+1,（x≤1）3，（-1＜x≤2）2x-1,（x＞2）∴f（x）min=3.∴a＜3.　　分析②：利用绝对值不等式│a│-│b│＜│a±b│＜│a│+│b│求解f（x）=│x+1│+│x-2│的最小值.　　解法2：设f（x）=│x+1│+│x-2│，∵│x+1│+│x-2│≥│（x+1）-（x-2）│=3，∴f