数形结合解决几何问题的新视角.docVIP

数形结合：解决几何问题的新视角 数形结合是初中数学重要的思想方法，是解决函数问题的有效途径，几何问题除了可以利用图形的性质来解决，也可以用平面直角坐标系和一次函数的知识来解决，为几何问题的解决提供新的思路． 例题1 （2008 宁夏）如图1-1，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连接DP交AC于点Q． （1）试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ； （2）当点P在AB上运动到什么位置时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的； （3）若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个运动过程中，当点P运动到什么位置时，△ADQ恰为等腰三角形． 图1 图1-1 （1）如图1-1，在正方形ABCD中， 无论点P运动到AB上何处时，都有 AD=AB ∠DAQ=∠BAQ AQ =AQ ∴△ADQ≌△ABQ (2)如图1-2， 以A为原点,AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系， 过点Q作QE⊥y轴于点E，QF⊥x轴于点F． 图1-2∵ == ∴QE= 图1-2 ∵点Q在正方形对角线AC上 ∴Q点的坐标为 ∴ 过点D（0，4），Q (两点的函数关系式为：y=﹣2x+4 当y=0时，x=2 ∴P点的坐标为（2，0） ∴AP=2时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的． （3）若△ADQ是等腰三角形，则有QD =QA或DA=DQ或AQ=AD ①当点P运动到与点B重合时，由四边形ABCD是正方形知QD=QA 此时△ADQ是等腰三角形 ②当点P与点C重合时，点Q与点C也重合， 此时DA=DQ, △ADQ是等腰三角形 ③如图1-3，以A为原点建立如图所示的直角坐标系，设点P在BC上运动到BP=y时，有AD=AQ． 图1-3过点Q作QE⊥y轴于点E，QF⊥x轴于点 图1-3 在Rt△AQF中，AQ=4，∠QAF=45° ∴QF=AQ·sin45°= ∴Q点的坐标为（，） ∴过D、Q两点的函数关系式：+4 当=4时， ∴P点的坐标为（4，8-4）． ∴当点P在BC上运动到时，△ADQ是等腰三角形． 点评：本题借助正方形的直角建立平面直角坐标系，实现了四个转化：①把三角形的面积或等腰三角形的腰相等转化成点的坐标,②由点的坐标转化成一次函数关系式，③由一次函数关系式转化成点的坐标，④由点的坐标转化成线段CG、GH的长度，从而证明线段相等；； 例题2（2010 江苏盐城）如图2-1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，∠DCB=75o，以CD为一边的等边△DCE的另一顶点E在腰AB上． （1）求∠AED的度数； （2）求证：AB=BC； （3）如图2-2，若F为线段CD上一点，∠FBC=30o．求 eq \f(DF,FC) 的值． AB A B C D E 图2-1 A B C D E F 图2-2 解析 (1)∵∠BCD=75o，AD∥BC ∴∠ADC=105o 图2-3∵△DCE是等边三角形 ∴∠CDE =60o ∴∠ADE =45 图2-3 ∵AB⊥BC，AD∥BC ∴ ∠DAB=90o ， ∴∠AED=45o (2) 如图2-3，过D点作DF⊥BC，交BC于点F ∵∠DCF=∠CEB，∠EBC=∠DFC ，DC=EC ∴△DFC≌△CBE 则DF=BC ∴AB=CB (3)如图2-4，以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系， 过点D作DH⊥BC，过点F作FG⊥BC 设FG=1，则BF=2，BG=，AB=BC=2，F(,1),C(2,0)，G(,0) 设直线CF的函数关系式为：y=kx+b 图2-4由题意得： 图2-4 ∴ 当y=2时，，∴ ∴ ∴，，∴CG=GH ∵ FG∥DH ∴△CFG∽△CDH ∴ ∴ 点评：本题借助直角梯形的直角建立平面直角坐标系，借助特殊角(30°)和特殊图形(等边三角形、含30°角的直角三角形),巧妙地设出某条线段长度，顺利地表示出其他线段长度和已知点的坐标，利用 相似三角形的性质求出线段CG、GH的长度，证明线段相等； 例题3 如图3-1，在矩形ABCD中，AB=4 cm，AD=3 (1)四边形ACED是什么图形？为什么？ (2)求四边形ACED的面积． 解析 (1)如图3-2，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系， 图3-1设AO 为 图3-1 在△AOD中，由勾股定理得