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矩阵论_矩阵理论在研究曲梁的有限元分析中的应用 矩阵理论在研究曲梁的有限元分析中的应用 　　摘要： 　　本文主要说明矩阵在研究曲梁单元刚度矩阵推导上的应用。刚度矩阵在有限单元法中应用非常广泛，有限单元法是求解数理方程的一种数值分析的方法，是将弹性理论、计算数学和计算机软件有机结合在一起的一种数值分析技术，是解决工程实际问题的一种有力的数值计算工具。将矩阵的基本思想和方法应用到求解曲梁刚度的算法中，通过求解出曲梁的刚度矩阵，大大简化了求解的步骤，同时又利于实现利用计算机求解。 　　正文 　　一、引言 　　无载荷状态下,轴线为平面曲线的梁,通常称为曲梁。在机械工程中曲梁的应用很为广泛，像圆环、吊钩、活塞环等都属于曲梁。自20世纪80年代初曲线梁桥在我国修建以来,众多科技工作者对曲梁结构做了大量的理论与试验研究,取得了丰硕成果。 　　曲线梁的有限元分析方法因其可处理各种形式的曲线梁(如连续、变截面、变曲率、不同支承等情况),便成为诸多学者热衷研究的内容。较之壳单元、折板单元和条单元,梁单元的应用更为广泛,因而曲线梁的梁段有限元理论研究成果相对丰富。最早是Ferguson于1979年提出的将空间曲壳单元作退化处理而建立的曲梁单元。Kapania则于2003年基于刚周边假定而建立了每节点4自由度的三维曲梁单元。Kim对曲梁结构做了大量的研究,先后给出了非对称薄壁曲梁精确的静态单元刚度矩阵、轴力作用下非对称薄壁曲梁的动力刚度矩阵。 　　国内学者黄剑源、张罗溪较早做了曲梁结构的矩阵分析研究。赵会东、周世军从薄壁曲梁控制微分方程的闭合解出发,导出了适合于开口薄壁梁具有显式表达式的薄壁曲梁单元刚度矩阵。段海娟则依据广义符拉索夫薄壁梁理论耦合有限元技术,导出了计入扭转、翘曲与剪力滞效应的每节点9自由度的单元刚度矩阵显式表达式,可谓较完美地解决了曲梁有限梁段分析理论。李忠献、单德山等对曲线梁桥的车桥耦合振动做了研究。 　　吴鸿庆则应用弹性核法求解了曲梁的单元刚度矩阵。该方法避开形函数的引入和微分方程的求解,其力学概念清晰、推导简单。本文的主要工作是说明矩阵求逆理论在推导曲梁单元刚度矩阵上的应用，利于通过有限元分析法更好的分析曲梁的各种变形。 　　二、预备知识 　　矩阵求逆的综合法 　　在矩阵理论中,关于满秩方阵的矩阵求逆方法有伴随矩阵法和初等行列变换法。其数学描述分别是: 　　1)伴随矩阵法 　　n阶的方阵A,若满足A≠0,则A可逆,且其逆矩阵为A?1A*?(1)A 　　式中，A*为A的伴随矩阵；A为A的行列式。 　　2)初等行列变换法 　　可逆方阵A可表示为有限个初等矩阵的乘积,则经过初等行列变换可求得逆矩阵,即 　　(P1P2?Pn)(A)?(IA?1)(2) 　　此外,若主对角线为子块的满秩分块矩阵,有如下的性质： 　　若： 　　?BB??1 　　?0 　　则有 　　B?10??(3)B2??B?1 　　??1 　　??00?（4）?1?B2?? 　　伴随矩阵法通常适用于n[3阶的方阵求逆,而初等行列变换方法虽可用于高阶的矩阵求逆,但矩阵的元素是比较复杂的表达式或符号时,也无法应用。通过证明,如果将两种方法综合应用,则比较方便一些特殊矩阵的求逆,不妨称此方法为矩阵求逆的综合法。 　　综合法求逆理论的证明如下: 　　设A为n阶的满秩矩阵,对A实施初等的m次行变换与n次列变换,即依次左乘初等矩阵P1,P2,…,Pm-1,Pm(即实施m次初等变换)和右乘初等矩阵 　　Q1,Q2,…,Qn-1,Qn（即实施n次初等列变换），得主对角线上为子块的分块矩阵B，即 　　PmPm?1?P2P1AQ1Q2?Qn?1Qn?B（5）而 　　分块矩阵B的逆矩阵B-1可依据式(1)和式(4)求出。 　　同时，有B?1? 　　（6）QnQn?Q2Q1AP1P2?Pn??11Pn?1 　　?1 　　?1 　　?1 　　?1 　　?1 　　?1 　　对式(6),依次左乘Qn,Qn-1,…,Q2,Q1(即实施n次初等行变换)和右乘Pn,Pn-1,…,P2,P1(即实施m次初等列变换),得A?1?Q1Q2?Qn?1QnB?1PmPm?1?P2P1(7) 　　三、曲梁单元刚度矩阵解析解的推导 　　图1曲梁单元局部坐标系 　　如图1所示的曲梁单元及其局部坐标系和流动坐标系(未示出Z方向的位移与力向量),由弹性核法可求得圆弧曲梁j端柔度矩阵如下： 　　?fj? 　　?f11f12? 　　?f21f22?00?? 　　0?0?00? 　　?f61f62? 　　00000 　　f33f34f35f43f44f45f53f54f55 　　f16??f26? 　　0? 　　?（8） 　　0?0??f66?? 　　式中f11 　　r0?1r0?2r03(2?3??2) 　　；??? 　　EAx