高考数学母题：极坐标系及极坐标与普通方程的互化.docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 愿与您共建真实的中国高考数学母题(王老师:XXXXX) 极坐标系及极坐标与普通方程的互化 极坐标系中的基本问题及其转化 极坐标系与直角坐标系一样同是该画平面内点的位置;在现行的课标中,极坐标系中的基本知识有:点的极坐标、直线与圆的极坐标方程;基本解法之一是转化法,即极坐标与直角坐标相互转化. [母题结构]:(Ⅰ)(极坐标系):在平面上取一点O,由O点出发的一条射线Ox,一个单位长度及计算角度 的正方向(通常取逆时针方向),合称为一个极坐标系.其中点O称为极点,射线Ox称为极轴; (Ⅱ)(点的坐标):平面α上建立极坐标系后,平面α上任意一点P的位置可以由线段OP的长度ρ和从Ox 到OP的角度θ来确定,如图所示:其中有序数对(ρ,θ)称为点P的极坐标,ρ称为极径,θ称为极角; (Ⅲ)(互化公式):①互化的条件:极点与原点重合、极轴与x轴的正半轴重合、两坐标单位一致;②互化公式:x=ρcosθ,且y=ρsinθ. [母题解析]:极坐标系与直角坐标系的最大区别是:在直角坐标系中,平面内任意一点P与有序实数对(x,y)之间是一一对应的,而在极坐标系中,仅当0≤θ2π时,平面内的任意一点P(除极点外)与有序实数对(ρ,θ)才是一一对应的;一般地,点P(ρ,θ)也可以写为P(ρ,2kπ+θ)或P(-ρ,(2k+1)π+θ)(k∈Z);在以直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的单位长度的条件下,直角坐标方程和极坐标方程之间可以相互转换. 1.点的极坐标 子题类型Ⅰ:(2012年课标高考试题)已知曲线C1的参数方程是(ω为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立坐标系,曲线C2的坐标系方程是ρ=2,正方形ABCD的顶点都在C2上,且A、B、C、D依逆时针次序排列,点A的极坐标为(2,). (Ⅰ)求点A、B、C、D的直角坐标; (Ⅱ)设P为C1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围. [解析]:(Ⅰ)由点A的极坐标为(2,)点B、C、D的极坐标分别为(2,+)、(2,+π)、(2,+)点A、B、C、D的直角坐标分别为A(1,)、B(-,1)、C(-1,-)、D(,-1); (Ⅱ)设P(x,y),则|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=(x-1)2+(y-)2+(x+)2+(y-1)2+(x+1)2+(y+)2+(x-)2+ (y+1)2=4x2+4y2+16=16cos2ω+36sin2ω+16=32+20sin2ω∈[32,52]. [点评]:点的直角坐标和极坐标之间的转换:点P的直角坐标(a,b)点P的极坐标(,θ)(tanθ=,0≤θ2π);点P的极坐标(ρ,θ)点P的直角坐标(ρcosθ,ρsinθ). 2.直线的极坐标方程 子题类型Ⅱ:(2013年安徽高考试题)在极坐标系中,圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( ) (A)θ=0(ρ∈R)和ρcosθ=2 (B)θ=(ρ∈R)和ρcosθ=2 (C)θ=(ρ∈R)和ρcosθ=1 (D)θ=0(ρ∈R)和ρcosθ=1 [解析]:由圆ρ=2cosθρ2=2ρcosθx2+y2=2x与极轴交于极点和点(2,0)两条切线:x=0和x=2两条切线:θ= (ρ∈R)和ρcosθ=2.故选(B). [点评]:由直角坐标和极坐标之间的转换公式可得:直线l:ax+by+c=0aρcosθ+bρsinθ+c=0ρsin(θ-)=p或ρcos(θ-)=p;特别地,直线l:y=kxθ=α,其中tanα=k;过极点且垂直于极轴的直线l:θ=. 3.圆的极坐标方程 子题类型Ⅲ:(2012年江苏高考试题)在极坐标系中,已知圆C经过点P(,),圆心为直线ρsin(θ-)=-与极轴的交点,求圆C的极坐标方程. [解析]:由点P(,),即点P(1,1),直线:ρsin(θ-)=-ρsinθ-ρcosθ=-直线:y-x=- 圆心C(1,0)圆C的半径r=1圆C:(x-1)2+y2=1x2+y2=2xρ2=2ρcosθ圆C:ρ=2cosθ. [点评]:由直角坐标和极坐标之间的转换公式可得:圆C:x2+y2+dx+ey+f=0ρ2+dρcosθ+eρsinθ+f=0ρ2+ρm sin(θ-)+f=0或ρ2+ρmcos(θ-)+f=0;特别地,过极点圆C:x2+y2+dx+ey=0ρ=msin(θ-)或ρ=mcos(θ-). 4.子题系列: 1.(2004年上海高考试题)在极坐标系中,点M(4,)到直线l:ρ(2cosθ+sinθ)=4的距离d=