高考数学母题：极值认识.docVIP

高考数学母题规划,助你考入清华北大！王老师(电话:XXXXX)数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(8-08):极值认识(170) 487 极值认识 [母题]Ⅰ(8-08):(2006年天津高考试题)函数f(x)的定义域 为开区间(a,b),导函数(x)在(a,b)内的图像如图所示,则函数f(x)在开区 间(a,b)内有极小值点( ) (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 [解析]:由点x0是函数f(x)的极值点x0是导函数的零点,且导函数的图像在点(x0,0)的附近穿过x轴;点x0是函数f(x)的极小值点点x0是函数f(x)的极值点,且导函数在x0的附近递增.故选(A). [点评]:对于极值问题,应从如下三方面理解:①点P(x0,f(x0))是函数f(x)的极大、极小值点(x0)=0,且(x)在x=x0的左右附近的符号相反;如果(x0)=0,且(x)在x=x0的左右附近的符号相同,则x=x0不是f(x)的极值点,此点称为函数拐点,一般是函数的凸凹性的分界点,如三次函数的对称中心;②点P(x0,f(x0))是函数f(x)的极大值点(x0)=0,且(x)在x=x0的左边为正,在x=x0的右边为负(x)的图象在x=x0的附近是递减时穿过x轴;③点P(x0,f(x0))是函数f(x)的极小值点(x0)=0,且(x)在x=x0的左边为负,在x=x0的右边为正(x)的图象在x=x0的附近是递增时穿过x轴. [子题](1):(2012年重庆高考试题)设函数f(x)在R上可导,其导函数为(x),且函数y=(1-x)(x)的图像如图所示,则下列结论中一定成立的是( ) (A)函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) (B)函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1) (C)函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2) (D)函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2) [解析]:由函数y=(1-x)(x)的图象可知,(-2)=0,且当x-2时,(x)0;当-2x1时,(x)0f(-2)是函数f(x)极大值;又(2)=0,且当1x2时,(x)0,当x2时,(x)0f(2)是函数f(x)有极小值.故选(D). 注:函数极值的实质是函数的局部最值,因此,左增右减是极大值,左减右增是极小值. [子题](2):(2013年浙江高考试题)已知e为自然对数的底数,设函数f(x)=(ex-1)(x-1)k(k=1,2),则( ) (A)当k=1时,f(x)在x=1处取到极小值 (B)当k=1时,f(x)在x=1处取到极大值 (B)当k=2时,f(x)在x=1处取到极小值 (D)当k=2时,f(x)在x=1处取到极大值 [解析]:(法一)当k=1时,f(x)=(ex-1)(x-1)(x)=xex-1(1)=e-1≠0f(x)在x=1处不能取到极值;当k=2时, f(x)=(ex-1)(x-1)2(x)=(x-1)(xex+ex-2);令g(x)＝xex+ex-2,则(x)=xex+2ex0,x∈(0,+∞)g(x)在(0,+∞)上为增函数,且g(1)=2e-20,g(0)=-10g(x)的零点x0∈(0,1)当x0x1时,(x)0f(x)在(x0,1)上为减函数,当x1时,(x)0f(x)在(1,+∞)上是增函数x=1是f(x)的极 y y 小值点.故选(C). (法二)当k=1时,f(x)=(ex-1)(x-1)的图像如图Ⅰ: O 1 x O 1 x 当k=2时,f(x)=(ex-1)(x-1)2的图像如图Ⅱ:由图知,故选(C). 图Ⅰ 图Ⅱ 注:函数的极值可从函数图像上直观判断,易得:若f(x)=g(x)(x-a)n(g(a)≠0),则x=a是f(x)的极值点n为偶数. [子题](3):(2007年辽宁高考试题)己知f(x)与g(x)是定义在R上的连续函数,如果f(x)与g(x)仅当x=0时的函数值为0,且f(x)≥g(x)