高考数学母题：挖掘几何意义妙解向量与曲线交汇试题.docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 愿与您共建真实的中国高考数学母题(王老师:XXXXX) 挖掘几何意义.妙解向量与曲线交汇试题 具有几何意义的常见向量式及应用 由于向量具有代数与几何的“双重身份”,因此,凡与向量有关的问题理应有两种处理方式;充分挖掘向量或向量式的几何意义,可妙解向量与曲线交汇试题. [母题结构]:具有几何意义的常见式:①=+四边形APBQ是平行四边形;②|+|=2||(Q是AB的中点);③=0∠AOB=900;④|+|=|||+|=|-|⊥;⑤在ΔABC中,= ||=||;⑥=2mcot∠MON≠0SΔOMN=m. [母题解析]:①②③④均为向量的基本结论;⑤作AH⊥BC于H,则=||,=||;由 =||=||=H是BC的中点||=||;⑥=2mcot∠MON≠0|| ||cos∠MON=2mcot∠MON≠0||||sin∠MON=mSΔOMN=m. 1.垂直关系 子题类型Ⅰ:(2006年辽宁高考试题)已知点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2≠0)是抛物线y2=2px(p0) 上的两个动点,O是坐标原点,向量,满足|+|=|-|,设圆C的方程为x2+y2-(x1+ x2)x-(y1+y2)y=0.(Ⅰ)证明:线段AB是圆C的直径; (Ⅱ)当圆C的圆心到直线x-2y=0的距离的最小值为时,求p的值. [解析]:(Ⅰ)由|+|=|-||+|2=|-|2=0x1x2+y1y2=0;又以线段AB为直径的圆: (x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y+x1x2+y1y2=0x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0,即圆C线段AB是圆C的直径; (Ⅱ)由x1x2+y1y2=0(y1y2)2+y1y2=0y1y2=-4p2;设圆心C(x0,y0),则x0==(y12+y22),y0=;由(y1+y2)2=y12 +y22+2y1y24y02=4px0-8p2y02=px0-2p2;由圆心C到直线x-2y=0的距离d==== 当y0=p时,d取得最小值=;由=p=2. [点评]:垂直问题是解析几何的热点问题;垂直有许多种向量的包装形式,脱去向量外衣,抓住向量本质是解题的关键. 2.垂直变式 子题类型Ⅱ:(2010年陕西高考理科试题)如图,椭圆C:+=1的顶点为A1,A2,B1,B2, 焦点为F1,F2,|A1B1|=,=2.(Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)设n是过原点的直线,l是与n垂直相交于点P、与椭圆相交于A,B两点的直线,||=1,是否存在上述直线l使=1成立？若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由. [解析]:(Ⅰ)由|A1B1|=a2+b2=7;由=2a=2ca2=4,b2=3椭圆C:+=1; (Ⅱ)由||=1,=1==1=||2∠AOB=900;设A(rcosθ,rsinθ),B(Rcos(θ+900),Rsin(θ +900)),即B(-Rsinθ,Rcosθ),其中,r=|OA|,R=|OB|;由点A,B在椭圆C上r2(3cos2θ+4sin2θ)=12,R2(3sin2θ+4cos2θ)=12=3cos2θ+4sin2θ,=3sin2θ+4cos2θ+=7||=||2== =+=1||1,与||=1,矛盾.故不存在直线l使=1成立. [点评]:垂直有许多种向量的变式形式,本题利用向量数积的几何意义和射影定理的逆定理变式包装垂直. 3.面积公式 子题类型Ⅲ:(2005年福建高考试题)己知方向向量为=(1,)的直线l过点(0,-2)和 椭圆C:+=1(ab0)的焦点,且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上. (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)是否存在过点E(-2,0)的直线m交椭圆C于点M、N,满足=cot∠MON≠0(O为原点),若存在,求直线m的方程;若不存在,请说明理由. [解析]:(Ⅰ)由直线l:y=x-2过椭圆C的焦点FF(2,0)c=2;由过原点且垂直l的直线l0:x+y=0直线l0与l交于点H(,-)原点O关于直线l的对称点G(3,-)=3a2=6,b2=2椭圆C:+=1; (Ⅱ)由=cot∠MON≠0tan∠MON=||||sin∠MON=SΔOMN=;设M(x1,y1),N(x2,y2),直线m:x=ty-2,代入x2+3y2=6得:(t2+3)y2-4ty-2=0y1+y2=,y1y2=-|y1-y2|= SΔOMN=|OE||y1-y2|==t4=3t2t=0或t=直线m:x=-2,或x=y-2. [点评]:本题的本质是三角形面积公式:△ABC的面积SΔABC=tanA(A≠). 4.子题系列: 1.(2009年四川高考试题)已知椭圆