高考数学母题：方程函数.docVIP

高考数学母题规划,助你考入清华北大！王老师(电话:XXXXX)数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(5-26):方程函数(087) 245 方程函数 [母题]Ⅰ(5-26):(2005年上海高考试题)设定义域为R的函数f(x)=,则关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7个不同实数解的充要条件是( ) (A)b0,且c0 (B)b0,且c0 (C)b0,且c=0 (D)b≥0,且c=0 [解析]:作函数f(x)的的图像如图: y 设关于f(x)的方程f2(x)+bf(x)+b=0的两根分别为y1、y2, 则y1+y2=-b,y1y2=c且f(x)=y1,f(x)=y2;则关于x的方程f2(x) +bf(x)+b=0有7个不同实数解f(x)=y1有3个不同实数解, O 1 2 x f(x)=y2有4个不同实数解y1=0,y20b0,c=0.故选(C). [点评]:2005年上海高考试题可拓展为:已知函数f(x),研究关于x的方程af2(x)+bf(x)+c=0根的个数(或已知根的个数,求参数的取值范围),该问题把函数图像、函数零点和一元二次方程有机结合,是高考命题的一个绝佳的母题(下面的子题可佐证这一点),我们把该问题称为方程函数问题;解答此类问题,首先要利用图像变换等方法,准确作出所函数f(x)的图像,然后研究一元二次方程at2+bt+c=0,并把方程af2(x)+bf(x)+c=0根的问题等价转化为函数f(x)图像与直线y=t1和y=t2的交点问题. [子题](1):(2009年福建高考试题)函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的图象关于直线x=-对称.据此可推测,对任意的非零实数a,b,c,m,n,p,关于x的方程m[f(x)]2+nf(x)+p=0的解集都不可能是( ) (A){1,2} (B){1,4} (C){1,2,3,4} (D){1,4,16,64} [解析]:设关于f(x)的方程m[f(x)]2+nf(x)+p=0的两根分别为y1、y2,则f(x)=y1,f(x)=y2;设f(x)=y1的两根分别为x1, x2,f(x)=y2的两根分别为x3,x4,则x1+x2=-,x3+x4=-x1+x2=x3+x4,验证知,(D)不符合.故选(D). 注:本题把二次函数的对称性与方程函数问题巧妙结合,出自于母题的痕迹明显. [子题](2):(2006年湖北高考试题)关于x的方程(x2-1)2-|x2-1|+k=0,给出下列四个命题:①存在实数k,使得方程恰有2个不同的实根;②存在实数k,使得方程恰有4个不同的实根;③存在实数k,使得方程恰有5个不同的实根;④存在实数k,使得方程恰有8个不同的实根.其中假命题的个数是( ) y (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 [解析]:令f(x)=|x2-1|,则f(x)的图像如图:设方程(x2-1)2-|x2-1|+k=0的两根分别 1 为y1、y2,则y1+y2=1,y1y2=k,k≤,且f(x)=y1,f(x)=y2,①由图知, 方程恰有2个实根 -1 O 1 x y11,y20,如y1=2,y2=-1,k=-2满足条件,所以①正确;②由图知,方程恰有4个实根y1=y2=,k=所以②正确;③由图知,方程恰有5个实根y1=1,y2=0,k=0所以③正确;④由图知,方程恰有8个实根y1≠y2,且y1、y2∈(0,1),如y1=,y2=,k=满足条件,所以④正确.综上,正确命题的个数为4,假命题的个数为0,故选(A). 注:本题构造方程函数问题中的一个特殊函数,与母题对比,相似度近100%. [子题](3):(2013年安徽高考试题)(文)若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点x1,x2,且f(x1)=x1