高考数学母题：二次方程.docVIP

高考数学母题规划,助你考入清华北大！王老师(电话:XXXXX)数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(1-12):二次方程(012) 29 二次方程 [母题]Ⅰ(1-12):(《选修2-2》(人教A版)P112习题3.2A组第6题)已知2i-3是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根,求实数p,q的值. [解析]:由2i-3是方程2x2+px+q=0的根2(2i-3)2+p(2i-3)+q=0(10-3p+q)+2(p-12)i=010-3p+q=0,p-12=0p= 12,q=26. [点评]:关于一元二次方程有二类问题:①实系数一元二次方程问题:实系数一元二次方程的两根互为共轭复数;②非实系数的方程有实根的问题,通过设实根为t,并转化为f(t)+g(t)i=0的问题求解;韦达定理对任意系数的一元二次方程均成立. 根据上述结论,可给本题的简解:由实系数一元二次方程的两根互为共轭复数另一根为-2i-3;由韦达定理知:(2i- 3)+(-2i-3)=-,(2i-3)(-2i-3)=p=12,q=26. [子题](1):(2007年上海高考试题)(理)己知a、b∈R,且2+ai,b+i(i是虚数单位)是实系数一元二次方程x2+px+q=0的两个根,那么p、q的值分别是( ) (A)p=-4,q=5 (B)p=-4,q=3 (C)p=4,q=5 (D)p=4,q=3 [解析]:由实系数一元二次方程的两根互为共轭复数2+ai,b+i互为共轭复数a=-1,b=2两个根分别为2-i、2+i;由韦达定理知:(2-i)+(2+i)=-p,(2-i)(2+i)=qp=-4,q=5.故选(A). 注:本题类似于上述习题,着意于考查实系数一元二次方程两根的性质. [子题](2):(2008年上海高考试题)若z是实系数方程x2+2x+p=0的一个虚根,且|z|=2,则p= . [解析]:由z是实系数方程x2+2x+p=0的一个虚根也是实系数方程x2+2x+p=0的一个虚根z=pp=z=|z|2=4. 注:由于实系数一元二次方程的两根互为共轭复数两根之积z=|z|2恰是根的模的平方. [子题](3):(2006年上海春招试题)已知复数w满足w-4=(3-2w)i(i为虚数单位),z=+|w-2|,求一个以z为根的实系数一元二次方程. [解析]:由w-4=(3-2w)i(1+2i)w=4+3iw==2-iz=+|w-2|=+|-i|=(2+i)+1=3+i;由实系数一元二次方程的两根互为共轭复数另一根为3-i;由韦达定理知:一个以z为根的实系数一元二次方程:x2-[(3+i)+(3-i)]x+(3+ i)(3-i)=0,即x2-6x+10=0. 注:实系数一元二次方程的复根问题是上海高考极具特色的典型问题,值得进行学习研究. [子题系列]: 1.(2012年湖北高考试题)方程x2+6x+13=0的一个根是( ) (A)-3+2i (B)3+2i (C)-2+3i (D)2+3i 2.(2006年广东高考试题)若复数z满足方程z2+2=0,则z3=( ) (A)2 (B)-2 (C)-2i (D)2i 3.(2011年上海春招试题)为求方程x5-1=0的虚根,可以把原方程变形为(x-1)(x2+ax+1)(x2+bx+1)=0,由此可得原方程的 一个虚根为 . 4.(2007年上海春招试题)若关于x的一元二次实系数方程x2+px+q有一个根为1+i(是虚数单位),则q= . 5.(2007年上海高考试题)(文)己知a、b∈R,且2+ai,b+3i(i是虚数单位)是一个实系数一元二次方程的两个根,那么a、b的值分别是( ) (A)a=-3,b=2 (B)a=3,b=-2 (C)a=-3,b=-2 (D)a