高考数学母题：极点与极线的比例定理及推论.docVIP

极点与极线的比例定理及推论 1 极点与极线的比例定理及推论 比例定理:若点P关于圆锥曲线G的极线为l,过点P的直线与圆锥曲线G相交于A、B两点,分别过点A、B作直线l的垂线,垂足分别为D、C,则:. y D 证明:以抛物线G:y2=2px(p0)为例. A 设P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),则极线l:y0y=p(x+x0), C P =(注意到:y12=2px1,y22=2px2)= B =(注意到:==k)=,而=,故以下只需证明:=1,即|ky1-p|=|ky2-p|k(y1+y2)=2p,由(y1-y2)(y1+y2)=2p(x1-x2)(注意到:y1-y2= k(x1-x2))k(y1+y2)=2p,证毕. 推论1(中点性质):若圆锥曲线G过点P的弦AB平行于点P的极线,则点P是弦AB的中点. 证明:分别过点A、B作极线l的垂线,垂足分别为D、C,弦AB平行于点P的极线lAD=BC,由AP:BP=AD:BCAP=BP点P是弦AB的中点. 推论2(平分性质):若点P关于圆锥曲线G的极线为l,过点P的直线与圆锥 y D 曲线G相交于A、B两点,分别过点A、B、P作直线l的垂线,垂足分别 为D、C、H,则AC与BD的交点M平分PH. H A 证明:因AD:BC=AP:BP,由AD∥BCAD:BC=AM:MCAP:BP=AM:MC C M P PM∥BCM在PH上;又由PH∥BCPM:BC=AM:AC=DM:DB=MH:BCPM=MH D M平分PH. 推论3(面积关系):已知点P关于圆锥曲线G的极线为l,过点P的直线与圆锥曲 D1 线G相交于A、B两点,分别过点A、B的两条平行线与直线l交于点D、C, C A 记△APD、△CPD、△BPC的面积分别为S1,S2,S3,则:S22=4S1S2. C1 P 证明:首先证明如下引理: O x B 引理:如图,在△QBC中,AD∥BC,点P在线段AB上,AD:AP=BC:BP,记 C △APD、△PCD、△BPC的面积分别为S1、S2、S3,则:S22=4S1S3. D 证明:设BC=m,PB=n,AD=λm,由AD:AP=BC:BP得:AP=λn,又由 Q A P B AD∥BC得:QA:QB=AD:BC=λQA=λQBQA=λ[QA+(1+λ)n]QA=n,设∠CBQ=α∠DAQ=αS1=AD×AP sin(π-α)=mnλ2sinα,S3=BC×BPsinα=mnsinα4S1S3=(mnλsinα)2;又因S△QBC=BQ×BCsinα=[ n+(1+λ)n]msinα=mnsinα,S△QAD=AQ×ADsinα=mnsinαS2=S△QBC-S△QAD-S1-S3=mnsinα[- -λ2-1]=mnλsinαS22=4S1S3. 1.中点性质 [例1]:⑴(2008年全国高中数学联赛湖南初赛试题)过直线l:5x-7y-70=0上的点P作椭圆+=1的两条切线PM、PN,切点分别为M、N. 2 极点与极线的比例定理及推论