抽屉原理在数学竞赛中的应用--大学生毕业论文.docVIP

【标题】抽屉原理在数学竞赛中的应用 【作者】谢 强 【关键词】?抽屉原理?几何?分类?整除?染色 【指导老师】杨天标 【专业】数学与应用数学 【正文】1.引言????“电脑算命”看起来挺玄乎，只要你报出自己出生的年、月、日和性别，一按按键，屏幕上就会出现所谓性格、命运的句子，据说这就是你的“命”。不知道读者朋友去算过没有信不信这算法。其实这充其量不过是一种电脑游戏而已。我们用数学上的抽屉原理很容易说明它的荒谬。这个原理可以简单的叙述为一个小朋友养了三只鸟，他有两只笼子，要将三只鸟放到两只笼子里，会有什么样的情况呐？我们不难发现，要么一只笼子里放进两只小鸟，而另一只笼子里放进一只鸟，要么一只笼子里放进三只小鸟，而另一只笼子空着。上述两种情况我们可以用一句话来概括，一定有一只笼子里放进两只或两只以上的小鸟，虽然具体那只笼子放进两只小鸟我们无法确定，但这是无关紧要的，肯定有一只笼子里放进了两只或两只以上的小鸟。如果将上述问题中的小鸟换成苹果，书本或数。同时将笼子换成抽屉，学生和数的集合仍然可以得到相同的结论，由此可以看出上面的推理的正确性与具体的事物是没有关系的。如果我们把一切可以与小鸟互换的事物称为元素，而把一切可以与鸟笼互换的事物叫做抽屉（集合）那么上面的结论就可以叙述为三个以上的元素以任意方式分到两个集合（抽屉）中，一定有一个集合中至少有两个元素，同样小鸟与笼子的具体数目也是无关紧要的，只要小鸟的数目比笼子的数量多，推理依然成立。通过上面的分析我们可以将上述问题中包含的基本原理写成下面的一般形式：?抽屉原理一?如果m个元素，按某种规则分成n(mn)个集合，那么其中必有一个集合至少含k个元素，这里?K=?上式中[[m/n]表示m/n的整数部分，即小于或等于m/n的最大整数例如：[1/2]=0；[1.5]=1；[–3.14]=–4。?抽屉原理二?如果有无穷多个元素，按照某种规则分成有穷多个集合，那么其中至少有一个集合里有无穷多个元素。???现在就用抽屉原理来说明电脑算命的荒谬?。如果以70年计算，按出生的年、月、日、性别的不同组合数应为70×365×2＝51100，我们把它作为“抽屉”数。我国现有人口11亿，我们把它作为“物体”数。由于1.1亿=21526×51100+21400，根据原理1，存在21526个以上的人，尽管他们的出身、经历、天资、机遇各不相同，但他们却具有完全相同的“命”，这真是荒谬绝伦！????在我国古代，早就有人懂得用抽屉原理来揭露生辰八字之谬。如清代陈其元在《庸闲斋笔记》中就写道：“余最不信星命推步之说，以为一时（注：指一个时辰，合两小时）生一人，一日生十二人，以岁计之则有四千三百二十人，以一甲子（注：指六十年）计之，止有二十五万九千二百人而已，今只以一大郡计，其户口之数已不下数十万人（如咸丰十年杭州府一城八十万人），则举天下之大，自王公大人以至小民，何啻亿万万人，则生时同者必不少矣。其间王公大人始生之时，必有庶民同时而生者，又何贵贱贫富之不同也？”在这里，一年按360日计算，一日又分为十二个时辰，得到的抽屉数为60×360×12＝259200。　?所谓“电脑算命”不过是把人为编好的算命语句像中药柜那样事先分别一一存放在各自的柜子里，谁要算命，即根据出生的年月、日、性别的不同的组合按不同的编码机械地到电脑的各个“柜子”里取出所谓命运的句子。这种在古代迷信的亡灵上罩上现代科学光环的勾当，是对科学的亵渎。2.在几何中的应用例1??已知在边长为1的等边三角形内（包括边界）有任意五个点（图1）。证明：至少有两个点之间的距离不大于1/2（1978年广东省数学竞赛题）。?证明：5个点的分布是任意的。如果要证明“在边长为1的等边三角形内（包括边界）有5个点，那么这5个点中一定有距离不大于1/2的两点”，则顺次连接三角形三边中点，即三角形的三条中位线，可以分原等边三角形为4个全等的边长为1/2的小等边三角形，则5个点中必有2点位于同一个小等边三角形中（包括边界），其距离便不大于1/2。?以上结论要由定理“三角形内（包括边界）任意两点间的距离不大于其最大边长”来保证，下面我们就来证明这个定理。图1?图2　?如图2，设BC是△ABC的最大边，P，M是△ABC内（包括边界）任意两点，连接PM，过P分别作AB、BC边的平行线，过M作AC边的平行线，设各平行线交点为P、Q、N，那么∠PQN=∠C，∠QNP=∠A?。因为BC≥AB，所以∠A≥∠C，则∠QNP≥∠PQN，而∠QMP≥∠QNP≥∠PQN（三角形的外角大于不相邻的内角），所以 PQ≥PM。显然BC≥PQ，故BC≥PM。?由此我们可以推知，边长为1/2的等边三角形内（包括边界）两点间的距离不大于1/2。?说明：用同