天津科技大学李伟版高等数学第四章习题答案.docVIP

习题4—1（A） 1．判断下列叙述是否正确，并说明理由： （1）不定积分是的一个原函数； （2）在不定积分的运算性质中，只有加法运算和数乘运算法则而没有乘法法则，因而遇到求乘积的不定积分时，可考虑是否能将被积函数“积化和差”，从而用加法法则分别求不定积分； （3）积分运算与微分运算是互逆运算，因此对一个函数求导一次，积分一次，不论两种运算的先后顺序如何，最后的结果还是原来的函数； （4）切线的斜率同为的曲线有无数条，这些曲线的方程可以写成（为任意常数）的形式，要想有唯一解，还必须另外有能确定任意常数的条件． 答：（1）不正确．不定积分的结果是的一个原函数再加一个任意常数． （2）正确．这只是求乘积的不定积分方法之一，以后还会介绍其它方法． （3）不正确．先积分再求导，两种运算结果相互抵消，最后的结果还是原来的函数；但是，先求导再积分，两种运算结果不能相互抵消，最后的结果与原来的函数相差一个任意常数． （4）正确．这就是不定积分的几何意义． 2．验证函数、、都是同一个函数的原函数，它们相互之间相差一个常数吗？ 解：因为， ， ， 所以、、都是同一个函数的原函数． 根据原函数的性质，它们彼此之间相差一个常数，其实由三角函数公式也可以得到它们彼此之间相差一个常数，事实上：，． 3．若，求函数． 解：等式两边同时对求导，得． 4．一曲线过点，且在任一点处的切线斜率等于该点横坐标平方的倒数，求该曲线方程． 解：设所求曲线为，由已知有，则， 再由曲线过点，有，得，所求曲线为． 5．求下列不定积分： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）； （11）； （12）． 解：（1）． （2）． （3）． （4） ． （5）． （6）． （7）． （8） ． （9）． （10）． （11）． （12）． 6．若函数的一个原函数为，求． 解：因为是函数的一个原函数，根据不定积分的定义，则 ． 习题4—1（B） 1．一物体由静止开始以初速度沿直线运动，经过 s后其加速度，求9 s后物体离开出发点的距离是多少？这时物体运行的速度是多少？ 解：设时刻时物体离开出发点的距离为，这时的速度为， 由，则， 因为时，，得；所以． 由，则， 因为时，，得，所以． ． 2．求下列不定积分： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）． 解：（1）． （2）． （3）． （4）． （5）． （6）． （7） ． （8） ． （9） ． （10）． 3．若函数满足，求． 解：由，得，所以 ． 4．若函数满足，求不定积分． 解：由，有，所以 ． 习题4—2（A） 1．判断下列叙述是否正确，并说明理由： （1）用凑微分法所求的不定积分，被积函数必须具备、或能化成的形式； （2）用凑微分法求不定积分时，其中中可以任意添加常数项或改变的系数而成为的形式，需要注意的是，这样变换后被积函数需乘一个常数因子； （3）形如的积分，积分结果一般为对数函数与反正切函数之和． 答：（1）正确．但是必须有原函数． （2）正确．因为（）总是成立的． （3）不正确．在很多时候结果中只有对数函数或只有反正切函数，有时也会出现有理函数．事实上： = 1 \* GB3 ① 当，时， ； = 2 \* GB3 ② 当，时， ； = 3 \* GB3 ③ 特别，当，，且时， ； = 4 \* GB3 ④ 当，时， ； = 5 \* GB3 ⑤ 当，时， ； = 6 \* GB3 ⑥ 特别，，且时， ； = 7 \* GB3 ⑦ 当，时， ； = 8 \* GB3 ⑧ 当，时