八年级数学张美玲海伦公式.docVIP

. . C1407班的李镜楠有一天拦住我，说：“老师，我觉得海伦公式很重要，你可以讲一下吗？” 海伦公式 一、什么是海伦公式？ 如图1，在三角形ABC中，A=15，B=14，C=13，求三角形ABC的面积，运用我们已经学习过的知识可以直接求解吗？ 图1 像这样的题目，用海伦公式很容易解决，那么，什么是海伦公式呢？ 海伦公式：三角形的面积 其中：、、 分别是三角形的三边长， 海伦公式亦称“海伦-秦九韶公式”。此公式（利用三角形的三条边长来求三角形面积）相传是亚历山大港的海伦发现的，并可在其于公元60年的《Metrica》中找到其证明。亦有认为早于阿基米德时代已经懂得这条公式，而由于《Metrica》是一部古代数学知识的结集，该公式的发现时期很有可能先于海伦的著作。 亚历山大里亚的海伦（希腊语： ?ρων ? ?λεξανδρε??）（公元10年－70年） ，是一位古希腊数学家，居住于托勒密埃及时期的罗马省。他也是一名活跃于其家乡亚历山大里亚的工程师，他被认为是古代最伟大的实验家，他的著作在希腊化时期文明（Hellenistic civilization）科学传统方面享负盛名。 \o 中国 我国南宋末年数学家秦九韶，其著作《数书九章》卷五第二题即三斜求积。“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何？”答曰：“三百十五顷．”其术文是：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之为实，……开平方得积。”若以大斜记为 ，中斜记为 ，小斜记为 ，用现代公式表示即为： 能否由秦九韶的公式推导出海伦公式？ 秦九韶公式推导出海伦公式 详见人教版教材八年级下册 秦九韶公式的证明 中国古代的天元术发展水平非常高，猜想秦九韶在独立推出“三斜求积”公式过程中，利用了解方程的方法，从三角形最基本的面积公式入手，利用勾股定理，布列方程组求高。 如图2， 在△ABC中，AD为边BC上的高，根据勾股定理，有 解方程，得 ， ， 又因为，所以 海伦公式的证明 那么，海伦公式如何证明呢？ 海伦公式：三角形的面积 其中：、、 分别是三角形的三边长， 证明（1）：由余弦定理可知： ，由此得出 由 可得： ， ， ， ， 因此： 由三角形面积公式 即得 上述证明用到了三角函数 、，因为初二年级的学生还没有接触三角函数，我们也可以考虑用以下的方法证明。 C C A B T 图3 T B A C 图4 是 △ 的 边上的高，点 为垂足。记 ，，，，（见上图）。 证明（2）：若 △ 是锐角三角形（图3），则由勾股定理有 由（1）式得出 ，带入（2）式 ： 。 展开，即得 ，由此式解得 ， 类似于证明（1），得出 ， 由于三角形面积 ，由上式即得 。 若 △ 是钝角三角形（图4），不失一般性，设 ，则由勾股定理有 类似于 △ 是锐角三角形的情况，可得 ， 因而亦得 。 若 △ 是直角三角形（图4），不失一般性，设 ，由勾股定理有 。 故，此时仍有 。 海伦公式的推导 海伦公式形式漂亮，结构工整，有多种变形，如： S= = = = = = 三角形的面积和三边有如此优美和谐的关系，我们不禁会类比猜想，简单四边形的面积和它的四条边又是什么关系呢？由于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形ABCD中，设四条边长分别为，且,则S四边形= 现根据猜想进行证明。 证明：如下图，延长DA，CB交于点E。设EA = e EB = f ∵∠1+∠2 =180○ ∠2+∠3 =180○ ∴∠1 =∠3 ∴△EAB～△ECD ∴ = = ， = 解得： e = ③ f = ④ 由于S四边形ABCD =S△EAB 将③，④跟b =代入海伦公式公式变形， 得：∴S四边形ABCD = = = = = = = = = = = 所以，海伦公式的推广得证。