常用离散型和连续型随机变量.docVIP

. . 常用离散型随机变量的分布函数 离散型随机变量 概念：设X是一个随机变量，如果X的取值是有限个或者无穷可列个，则称X为离散型随机变量。其相应的概率称为X的概率分布或分布律，表格表示形式如下： X …… P …… 性质： ? ? ?分布函数 ? 连续型随机变量 概念：如果对于随机变量的分布函数，存在非 负的函数 ，使得对于任意实数x，均有： 则称X为连续型随机变量，称为概率密度函数或者密度函数。 连续型随机变量的密度函数的性质 ? ? ? ?若在x点连续，则 连续型随机变量和离散型随机变量的区别： 由连续型随机变量的定义，连续型随机变量的定义域是 ，对于任何x，；而对于离散型随机变量的分布函数有有限个或可列个间断点，其图形呈阶梯形。 概率密度一定非负，但是可以大于1，而离散型随机变量的概率分布不仅非负，而且一定不大于1. 连续型随机变量的分布函数是连续函数，因此X取任何给定值的概率都为0. 对任意两个实数，连续型随机变量X在a与b之间取值的概率与区间端点无关，即： 即： 只取0、1两个值的随机变量，称为0-1分布，它用来描述只有两种对立的结果（成功与失败、合格与不合格、击中目标与击中目标、时间A出现与不出现）的伯努利实验。常用的 只取0、1两个值的随机变量，称为0-1分布，它用来描述只有两种对立的结果（成功与失败、合格与不合格、击中目标与击中目标、时间A出现与不出现）的伯努利实验。 0-1分布： 如果离散型随机变量X的概率分布为： （ K=0、1） 称X服从参数为p的0-1分布。 二项分布： 如果离散型随机变量X的概率分布为： 称X服从参数为n、p的二项分布，简记为 ?{注：进行一次实验，若实验的成功率为p，则在一次实验中成功的次数X服从参数为p的0-1分布} ?{二项分布描述n重伯努利实验，若每次试验的成功率为p，则进行n次独立重复试验，则成功的总次数X服从参数为n、p的二项分布} ?{如果X服从二项分布，则Y=n-X服从二项分布} 超几何分布： 如果离散型随机变量X的概率分布为： 称X服从参数为n, 、的超几何分布，其中n, 、都为正整数，且n≤+ ?{当时，去正概率的X值不是从0开始，而是从开始；当时，去正概率的X值最大不是n,而是} 泊松分布（Poisson） 如果随机变量X的概率分布为： 则称随机变量X服从参数为的泊松分布，简记为. 总结：在离散型的几个常用分布中，二项分布与其他几个分布关系最为密切： 参数为p的0-1分布，就是参数为n、p的二项分布当n=1时的特例； 常用连续型随机变量的分布函数 均匀分布： 若连续型随机变量X的概率密度为： 则称X服从区间上的均匀分布，其分布函数为： 在上服从均匀分布的随机变量X在内任一子区间上取值的概率只依赖于该子区间的长度，而与其在内的位置无关。即：若，则： 指数分布： 如果连续型随机变量的概率密度为： 则称X服从参数为的指数分布，其中，相应的分布函数为： 指数分布常用作一些电子元器件的使用寿命。 指数分布具有无记忆性。 正态分布： 正态分布的概率密度为： 其中和均为常数，且，简记为： 特别地，当、时，称X服从标准正态分布，记作 ，其概率密度为： 其分布函数用表示。 标准正态分布的分布函数与概率密度的性质。 即是一个偶函数。 即x轴是的水平渐近线。 分布函数；概率密度 。 若，当C0时， ?若随机变量X服从正态分布，则服从标准正态分布，且 ?如果，当时，服从正态分布。特别地，如果a=1,则。 ?如果,,且、相互独立，则 随机变量的函数分布的求法 设X是一个随机变量，是一个实函数，则也是一个随机变量，所谓求随机变量的函数分布问题，就是已知X的分布及函数，求随机变量的概率分布或者概率密度乃至分布函数。 离散型随机变量的函数分布的求法 如果随机变量的函数是离散型（无论X是不是离散型的）的，求Y的分布只要逐点分析出Y的全部可能取值及取各可能值的相应概率即可。 连续型函数的分布的求法 分布函数法： 如果随机变量的函数是连续型的，最基本的方法是分布函数法，即先求出Y的分布函数，然后通过分布函数求出Y的概率密度，其中是随机变量X的概率密度。 公式法 如果X是连续型的随机变量，是x的单调可到函数，其导数不为0，则Y的概率密度可直接由X的密度求出： 其中是函