尺度函数与小波的构造.docVIP

. PAGE 33 . 尺度函数与小波的构造 §1 框架 在第一章中，我们将小波变换定义为 （3.1） 若满足 (3.2) 那么我们可以从的小波变换重构 (3.3) 如果我们将参数a和b离散化，令，相应的，那么上述变换和反变换函数将为 （3.4) 也就是说，我们可以计算连续小波变换的离散值 (3.5) 现在的问题是，离散化时我们是否丢失了某些关于信号的信息，或者说，我们是否可以从这些离散值重构信号。在多分辨率逼近中，我们讨论了一种最典型的情况，且构成的正交归一基。现在我们打算一般性地讨论这个问题。实际上，在多尺度边缘检测中，我们已放松了对正交性的要求。 根据我们即将介绍的框架理论，如存在使 (3.6) 则我们说集为一个框架。这样我们可以构造一个数值稳定的算法，从小波系数重构。不难验证，我们在多分辨率逼近中引入的小波级数只不过是（3.6）式中A=B=1的特殊情况。 框架 若存在使得满足 (3.7) 则我们称构成希尔伯特空间的一个框架。其中A，B称为框架界。 若A = B，则我们称之为紧框架。若A = B = 1,且，那么框架就是正交归一基。这一结论很容易证明，令(3.7)式中，则有 由于，，故上式中。意味着，对于，即构成框架的矢量是两两正交的。 由此可以看到，正交归一基确实只是框架的一种特殊情况。对于正交归一基，重构很简单 (3.8) 上式就是我们提到的广义傅里叶级数，但对于一般的框架而言，重构问题要复杂的多。 对偶框架 首先引入对称算子的定义：对任意的，若，则我们称T1和T2为上的对称算子，且将不等式表示为。 可以看到，框架实际上是定义了一个从到的映射，即将任意的映射称为一个平方可和的序列。我们用 表示之，并称T为框架算子。 对于任意一个平方可和序列,也可映射为一个函数，我们称为的伴随算子。 显然，是一个从到的算子。因为对任意的，我们有 (3.9) 由上式可得 从而根据对称算子的定义，我们可以将定义框架的不等式改写为 I为单位算子。 (3.10) 上式说明，对称算子是有界的，故可定义其逆算子，且逆算子满足 (3.11) 由逆算子及不等式(3.11),我们就可以定义对偶框架：定义，则构成另一个框架，我们称其为的对偶框架。由(3.11)式可见，确实构成一个框架，且其框架界为和。对于对偶框架，我们也可以相应地定义框架算子和它的伴随算子。框架算子定义为 (3.12) 而且，可以证明： ， (3.13) 其中，是到T的值域的正交投影算子。 为什么我们要引入对偶框架呢？由(3.13)式可得，从而 （3.14） 上式告诉我们，如构成一个堆积，那么任一 都可由它的内积系数充分描述。因为可以按(3.14)式由这些内积系数去重构。由，可得 (3.15) (3.14)和(3.15)式还说明对偶关系是相互的.即{,也是{，的对偶框架. 三.重构 由(3.14)我们看到,由内积系数{重构的关键是找到，为此，我们定义 （3.16） 是一个从到的算子。具体说来，由上式可得 （3.17） 由（3.10）可得 （3.18）由的定义 （3.19） 我们先来讨论一种比较简单的情况，既紧框架的情况。这时 （3.20） 如为 的紧框架，那么重构公式从形式上看完全类似于正交展开，即 （3.21） 对一般情况，可将写为，从而将写成如下级数形式 （3.22） 因为 或 （3.23） （3