小学数学中工程问题的公式的应用.doc

. . 小学数学中工程问题的公式应用 在日常生活中.做某一件事.制造某种产品.完成某项任务.完成某项工程等等.都要涉及到工作量、工作效率、工作时间这三个量.它们之间的基本数量关系是 工作量=工作效率×时间. 在小学数学中.探讨这三个数量之间关系的应用题.我们都叫做“工程问题”. 举一个简单例子. 一件工作.甲做10天可完成.乙做15天可完成.问两人合作几天可以完成？ 一件工作看成1个整体.因此可以把工作量算作1.所谓工作效率.就是单位时间内完成的工作量.我们用的时间单位是“天”.甲、乙的工作效率就分别是1/10、1/15.再根据基本数量关系式.得到 所需时间=工作量÷工作效率=1÷[（1/10）＋(1/15)]=6（天）? 两人合作需要6天. 这是工程问题中最基本的问题。 为了计算整数化（尽可能用整数进行计算）.还可以把工作量多设份额.如上题.10与15的最小公倍数是30.设全部工作量为30份.那么甲每天完成3份.乙每天完成2份.两人合作所需天数是： 30÷（3+ 2）= 6（天） 另外.因为“工作量固定.工作效率与时间成反比例”.甲、乙工作效率的比是（1/10）：（1/15）=15∶10=3∶2.当知道了两者工作效率之比.从比例角度考虑问题.也就马上明确甲乙所需需时间比是2：3. 因此.我们在解工程问题时.既可以用 “把工作量设为整体1”的做法.也可以采用“整数化”或“从比例角度出发”的做法.从而使我们的解题思路更灵活一些. 《一》、两个人的问题 标题上说的“两个人”.也可以是两个组、两个队等等的两个集体. 例1 一件工作.甲做9天可以完成.乙做6天可以完成.现在甲先做了3天.余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作？ 解一.用“把工作量设为整体1”的作法： {1-[(1/9) ×3]}÷(1/6)=4(天) 答：乙需要做4天可完成全部工作. 解二：9与6的最小公倍数是18.设全部工作量是18份.甲每天完成2份.乙每天完成3份.乙完成余下工作所需时间是 （18- 2 × 3）÷ 3= 4（天）. 解三：甲与乙的工作效率之比是 （1/9）：（1/6）= 6∶ 9= 2∶ 3. 甲做了3天.相当于乙做了2天.已知乙单独完成全部工作需要6天。那么.乙完成余下工作所需时间是6-2=4（天）. 例2 .一件工作.甲、乙两人合作30天可以完成.共同做了6天后.甲离开了.由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？ 解：共同做了6天后. 余下的工程.本来应该是甲做 24天.乙做 24天的工作量. 现在.甲做0天.乙做40=（24+16）天. 这说明.乙除了用24天做完了自己本来能够完成的24天的工作量.还用16天做完了原来甲24天能够做的工作量。因此甲的工作效率与乙的工作效率的比是（1/24）：（1/16）=2：3. 因为甲乙工作效率的和是1/30.所以 甲的工作效率是.（1/30）÷（2+3）×2=1/75 乙的工作效率是.（1/30）÷（2+3）×3=1/50 如果甲独做.所需时间是.1÷1/75=75(天) 如果乙独做.所需时间是.1÷1/50=50（天） 答：甲或乙独做所需时间分别是75天和50天. 例3 .某工程先由甲独做63天.再由乙单独做28天即可完成；如果由甲、乙两人合作.需48天完成.现在甲先单独做42天.然后再由乙来单独完成.那么乙还需要做多少天？ 解一：先对比如下： 独做.甲先独做63天.再由乙独做28天； 合作.甲做48天.乙做48天. 就知道甲少做63-48=15（天）.乙要多做48-28=20（天）.由此得出结论.甲的少做的15天的工作量等于乙多做的的20天的工作量.就是说在同样工作量的前提下.甲、乙独做需要的工作天数比是.15：20=3：4. 现在甲先单独做42天.比48天少做了48-42=6（天）.这样甲少做的6天的工作量.就要由乙在做完自己48天的工作量的基础上.多做相当于甲6天的工作量。在都做相当于甲6天的工作量的时候.甲所用的6天和乙所用的天数的比与3：4成正比。就是： 3：4=甲在48天之内少做的天数6：乙在48天之外要多做的天数. 乙在48天之外还要做的天数就是.4×6÷3=8 因此.乙还要做48+8= 56 （天）. 答：乙还需要做 56天. 解二. 先对比如下： 独做.甲先做63天.乙后做28